第8章 PID算法

       本章我们主要来学习PID算法，它是自动控制算法中的经典之作，被广泛应用于温度控制、水位控制、飞行姿态控制等领域。

       本章分为如下几个小节：

       8.1 自动控制算法

       8.2 PID算法入门

       8.3 积分饱和问题

       8.4 PID算法代码实现

        8.1 自动控制系统

       在直流有刷电机的基础驱动实验中，如果电机负载不变，我们只要设置固定的占空比（电压），电机的速度就会稳定在目标范围。然而，在实际的应用中，负载可能会发生变化，此时如果还是输出固定的电压，电机的速度就偏离目标范围了，为了解决这个问题，我们需要引入自动控制系统中的闭环控制。接下来我们开始学习自动控制系统的内容。

       1）概念：用自动控制装置，对关键参数进行自动控制，使它在受到外界干扰而偏离正常状态时，能够被自动地调节回到目标范围内。

       2）应用场景：电水壶保温系统、大棚温控系统、水位控制系统，等等。

       3）分类：自动控制系统分为开环控制系统和闭环控制系统 。

       ① 开环控制系统

       在开环控制系统中，系统输出只受输入的控制，没有反馈回路，控制精度和抑制干扰的特性都比较差。开环控制系统的实例如图8.1.1所示：

图8.1.1.开环控制系统实例

       图8.1.1中，电风扇风力控制系统就是一个开环控制的系统，我们设置好目标风力之后，控制电路就输出相应的电压（假设是电压控制），此时电机的扇叶转速就被控制在目标范围了。理想状态下，风扇的输出风力确实可以稳定在目标值附近，然而，在实际的使用中，电机会逐渐老化，扇叶上的灰尘也会让负载增大，此时我们所设定目标风力和实际风力可能就存在偏差了。

       ② 闭环控制系统

       在闭环控制系统中，引入了反馈回路，利用输出（实际值）和输入（目标值）的偏差，对系统进行控制，避免偏离预定目标。闭环控制系统又称反馈控制系统，它的实例如图8.1.2所示：

图8.1.2 闭环控制系统实例

       图8.1.2中，大棚温控系统就是一个闭环控制的系统，我们设置好目标温度之后，温度传感器会采集棚内的实际温度，然后将目标温度和实际温度进行偏差的计算，计算后的结果输入到控制电路中，控制电路进一步控制温控设备进行升温和降温，此时棚内的实际温度就被控制在目标范围了。当实际温度因外部影响偏离目标值时，温度传感器（反馈电路）就能及时的反馈偏差，让系统自动调节温控设备，使得实际温度逐渐回到目标范围。

       通过这个实例，大家就可以感受到闭环控制系统的意义所在，如果我们把上述实例中的控制对象变成电机的速度，反馈电路变成编码器测速电路，即可实现电机速度的闭环控制。

        8.2 PID算法入门

       PID算法是闭环控制系统中常用的算法，PID分别是 Proportion（比例）、Integral（积分）、Differential（微分）的首字母缩写。它是一种结合比例、积分和微分三个环节于一体的闭环控制算法，具体的控制流程如图8.2.1所示：

图8.2.1 PID控制流程

       图8.2.1中，我们将输入目标值和实际输出值进行偏差的计算，然后把计算结果输入到PID控制算法中，经过比例、积分和微分三个环节的运算，运算后的输出作用于执行器，从而让系统的实际值逐渐靠近目标值。

       接下来我们以大棚温控系统为例，来理解PID算法中三个环节的作用。

       8.2.1 比例环节（ Proportion）

       比例环节可以成比例地反应控制系统的偏差信号，即输出与输入偏差成正比，可以用来减小系统的偏差。此环节的公式如下：

       u -----  输出

       Kp -----  比例系数

       e -----  偏差

       我们接下来以大棚温控实例来理解这个公式。假设我们现在需要调节棚内温度为30℃，而实际温度为10℃，此时的偏差e=20，由比例环节的公式可知，当e确定时，Kp越大则输出u越大，也就是温控系统的调节力度越大，这样就可以更快地达到目标温度；而当Kp确定时，偏差e越大则输出u越大。由此可见，在比例环节中，比例系数Kp和偏差e越大则系统消除偏差的时间越短，具体的曲线表现如图8.2.1.1所示：

图8.2.1.1 比例环节曲线图

       图8.2.1.1中，当Kp的值越大时，其对应的橙色曲线达到目标值的时间就越短，与此同时，橙色曲线出现了一定幅度的超调和振荡，这会使得系统的稳定性下降，因此，我们在设置比例系数的时候，并不是越大越好，而是要兼顾消除偏差的时间以及整个系统的稳定性。

       然而，在实际的应用中，如果仅有比例环节的控制，可能会给系统带来一个问题：静态误差。静态误差是指系统控制过程趋于稳定时，目标值与实测值之间的偏差。我们以大棚温控实例来理解什么是静态误差：

       假设我们现在需要调节棚内温度为30℃，而实际温度为25℃，此时偏差e=5，Kp为固定值，如果此时的输出可以让大棚在半个小时之内升温5℃，而外部的温差可以让大棚在半个小时之内降温5℃，换言之，输出u的作用刚好被外部影响抵消了，这就使得偏差会一直存在，此时的曲线如图8.2.1.2所示：

图8.2.1.2 存在静态误差

       大家可能会想到，我们可以通过增大Kp来增大输出，以此消除偏差。在实际应用中，此方法的局限性很大，因为我们不能确定偏差的大小，它是在实时变化的，如果把Kp设置得太大，就会引入超调和振荡，让整个系统的稳定性变差。因此，为了消除静态误差，我们引入了积分环节。

       8.2.2 积分环节（Integral）

       积分环节可以对偏差e进行积分，只要存在偏差，积分环节就会不断起作用，主要用于消除静态误差，提高系统的无差度。引入积分环节后，比例+积分环节的公式如下：

       u  -----  输出

       e  -----  偏差

       ∑e   -----  累计偏差

       Kp  -----  比例系数

       Ki  -----  积分系数

       我们依旧以大棚温控实例来理解积分环节的作用。假设现在温控系统的比例环节作用被抵消，存在静态误差5℃，此时偏差存在，积分环节会一直累计偏差，以此增大输出，从而消除静态误差。从上述公式中可以得知，当积分系数Ki或者累计偏差越大时，输出就越大，系统消除静态误差的时间就越短，具体的曲线表现如图8.2.2.1所示：

图8.2.2.1比例+积分环节曲线图

       图8.2.2.1中，当Ki的值越大时，其对应的橙色曲线达到目标值的时间就越短，与此同时，橙色曲线出现了一定幅度的超调和振荡，这会使得系统的稳定性下降，因此，我们在设置积分系数的时候，并不是越大越好，而是要兼顾消除静态误差的时间以及整个系统的稳定性。

       我们前面有说过，只要系统还存在偏差，积分环节就会不断地累计偏差。当系统偏差为0的时候，说明已经达到目标值，此时的累计偏差不再变化，但是积分环节依旧在发挥作用（此时往往作用最大），这就很容易产生超调的现象了。因此，我们需要引入微分环节，提前减弱输出，抑制超调的发生。

       8.2.3 微分环节（Differential）

       微分环节可以反应偏差量的变化趋势，根据偏差的变化量提前作出相应控制，减小超调，克服振荡。引入微分环节后，比例+积分+微分环节的公式如下：

       我们依旧以大棚温控实例来理解微分环节的作用。假设温控系统目标温度为30℃，在上午八点的时候存在偏差15℃，经过一段时间的调节，到了上午九点，此时偏差已经缩小到5℃，偏差的变化量= 九点的偏差（第k次）-八点的偏差（第k-1次）= -10，结合上述公式可知，此时微分环节会削弱比例和积分环节的作用，减小输出以抑制超调。

       至此，PID算法三个环节的作用已经介绍完，我们最终得到了PID算法的一个公式：

       该公式是PID离散公式之一，除了离散公式之外，PID还有连续的公式，但是因为连续的公式不利于机器计算，我们这里不做介绍。大家需要注意，在实际的应用中，并不是每一个系统都需要PID的三个环节参与控制的，有的系统只需要比例环节或积分环节就可以控制得很好，除此之外，每一个系统的PID系数并不是通用的，这需要根据实际的情况去设置。

       8.2.4 PID算法离散公式

       1）位置式PID公式

       我们在上一小节中得到的PID离散公式称为位置式或全量式PID公式，该公式的计算需要全部控制量参与，它的每一次输出都和过去的状态有关。

       2）增量式PID公式

       通过位置式的PID公式，我们只需两步即可推导出增量式PID公式：

       第一步，将 k = k-1代入位置式PID公式，得：

       第二步，由-得：

       至此,增量式 PID方式就推导完了。从公式中可以看出，增量式 PID 的计算并不需要一直累计偏差，它的输出与近三次的偏差有很大关系。

       注意：增量式PID公式输出的只是控制量的增量。我们以一个实例来理解这句话：假设电机实际转速为50RPM，现在我们要让它加速到60RPM，如果采用的是位置式PID，系统将直接输出60RPM对应的控制量（占空比）；如果采用的是增量式PID，系统将输出提速10RPM对应的控制量（占空比），此时我们还需要加上上次（50RPM）的输出。

       介绍完PID的两个离散化公式，接下来我们比较一下这两个PID公式的不同点，具体如表8.2.4.1所示：

表8.2.4.1两种PID公式对比

       3）两种PID公式的优缺点

       ① 位置式：

       优点：位置式 PID 是一种非递推式算法，带有积分作用，适用于不带积分部件的对象。

       缺点：全量计算，计算错误影响很大；需要对偏差进行累加，运算量大。

       ② 增量式：

       优点：只输出增量，计算错误影响小；不需要累计偏差，运算量少，实时性相对较好。

       缺点：积分截断效应大，有稳态误差。

        8.3 积分饱和问题

       在位置式PID中，如果系统长时间无法达到目标值，累计偏差（积分）就会变得很大，此时系统的响应就很慢了。我们以一个实例来分析这个问题：

       假设某个电机能达到的最大速度为300RPM，而我们设置了目标速度为350RPM，这明显是一个不合理的目标值，此时PID控制系统的曲线如图8.3.1所示：

图8.3.1不合理目标值

       图8.3.1中，由于系统长时间无法达到目标值，累计偏差（积分）会变得越来越大，逐渐达到深度饱和的状态，此时我们再设置一个合理范围的目标速度（例如200RPM），系统就没有办法在短时间内响应了。

       为了避免位置式PID中可能出现的积分饱和问题，可采取以下措施：

       ① 优化PID曲线，系统越快达到目标值，累计的偏差就越小；

       ② 限制目标值调节范围，规避可以预见的偏差；

       ③ 进行积分限幅，在调整好PID系数之后，根据实际系统来选择限幅范围。

        8.4 PID算法代码实现

       1）控制量相关的结构体

       有了PID的离散化公式之后，我们实现PID算法的代码是非常简单的，这里先回顾一下两个PID公式所涉及到的所有控制量：

       在代码中，我们可以通过一个结构体来管理这些控制量，具体定义如下：

typedef struct
{
    __IO float  SetPoint;     /* 目标值 */ 
    __IO float  ActualValue;       /* 期望输出值 */
    __IO float  SumError;             /* 偏差累计 */
    __IO float  Proportion;           /* 比例系数 P */
    __IO float  Integral;             /* 积分系数 I */
    __IO float  Derivative;           /* 微分系数 D */
    __IO float  Error;                /* Error[1],第k次偏差 */
    __IO float  LastError;            /* Error[-1],第k-1次偏差 */
    __IO float  PrevError;            /* Error[-2],第k-2次偏差 */
} PID_TypeDef;

       这个结构体当中的每一个成员所代表的控制量在注释中已经很清楚，这里就不再介绍。值得注意的是，该结构体中多了一个目标值的控制量，它将会用于偏差的计算。

       2）PID算法代码

       PID算法的代码实现本质上就是对于两个离散公式的应用，我们先看位置式PID代码：

/* 
 * @brief       pid闭环控制
 * @param       *PID：PID结构体变量地址
 * @param       Feedback_value：当前实际值
 * @retval      期望输出值
 */
int32_t increment_pid_ctrl(PID_TypeDef *PID,float Feedback_value)
{
    PID->Error = (float)(PID->SetPoint - Feedback_value);   /* 计算偏差 */
    PID->SumError += PID->Error;         /* 累计偏差 */
    PID->ActualValue = (PID->Proportion * PID->Error)       /* 比例环节 */
                     + (PID->Integral * PID->SumError)      /* 积分环节 */
     +(PID->Derivative*(PID->Error - PID->LastError));   /* 微分环节 */
    PID->LastError = PID->Error;     /* 存储偏差，用于下次计算 */
    return ((int32_t)(PID->ActualValue));    /* 返回计算后输出的数值 */
}

       increment_pid_ctrl函数用来进行位置式PID的控制，该函数的2个形参：*PID传入PID控制量相关的结构体地址；Feedback_value传入当前系统的实际值，用于计算偏差。在函数中，我们先计算本次偏差Error，然后把偏差累计，存入SumError成员当中，接着根据位置式的公式进行三个环节的计算，计算后的期望输出存入ActualValue成员当中，然后存储本次偏差，最后返回期望输出值。

       接着我们看增量式PID代码：

/* 
 * @brief       pid闭环控制
 * @param       *PID：PID结构体变量地址
 * @param       Feedback_value：当前实际值
 * @retval      期望输出值
 */
int32_t increment_pid_ctrl(PID_TypeDef *PID,float Feedback_value)
{
PID->Error = (float)(PID->SetPoint - Feedback_value);  /* 计算偏差 */
 
PID->ActualValue +=
/* 比例环节 */ 
(PID->Proportion * (PID->Error - PID->LastError))  
/* 积分环节 */                         
+ (PID->Integral * PID->Error)          
/* 微分环节 */
+ (PID->Derivative * (PID->Error - 2 * PID->LastError + PID->PrevError));
 
PID->PrevError = PID->LastError;       /* 存储偏差，用于下次计算 */
PID->LastError = PID->Error;
return ((int32_t)(PID->ActualValue));    /* 返回计算后输出的数值 */
}

       增量式PID的代码实现和位置式是非常类似的，所以我们在实际的代码实现中，可以通过一个宏定义来切换这两种不同的算法，值得注意的是，增量式PID输出的是调节量，所以计算期望输出值ActualValue的时候是自增运算，这一点和位置式PID是不一样的。