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在本文中，188个国家基于这19个社会经济指标聚集在一起，使用Python实现的蒙特卡罗K-Means聚类算法。通过将类似国家分组在一起并对其进行概括，聚类可以帮助减少识别有吸引力的投资机会所需的工作量。

在讨论聚类国家和得出结论的结果之前，本文详细介绍了距离度量，聚类质量测量，聚类算法，K-Means聚类算法。 

聚类理论 - 相似与距离的度量

聚类是将一组异构（不同）对象划分为同类（相似）对象的子集的过程。聚类分析的核心是假设给定任何两个对象，您可以量化这些对象之间的相似性或不相似性。在连续搜索空间中距离测量相似性。

下面我写了关于连续搜索空间的相似性度量。对于每个我都包含公式（给定两个向量，  和 q）和Python代码。用于编写本文的所有Python代码都可用。 

class Similarity:def __init__(self, minimum):self.e = minimumself.vector_operators = VectorOperations()def manhattan_distance(self, p_vec, q_vec):"""This method implements the manhattan distance metric:param p_vec: vector one:param q_vec: vector two:return: the manhattan distance between vector one and two"""return max(np.sum(np.fabs(p_vec - q_vec)), self.e)def square_euclidean_distance(self, p_vec, q_vec):"""This method implements the squared euclidean distance metric:param p_vec: vector one:param q_vec: vector two:return: the squared euclidean distance between vector one and two"""diff = p_vec - q_vecreturn max(np.sum(diff ** 2), self.e)

聚类理论 - 聚类算法类

聚类算法的两个主要类别是 分层聚类和分区聚类。分层聚类通过将小聚类合并为较大的聚类或将较大的聚类分成较小的聚类来形成聚类。分区聚类通过将输入数据集划分为互斥的子集来形成聚类。

分层和分区聚类之间的差异主要与所需的输入有关。分层聚类仅需要相似性度量，而分区聚类可能需要许多额外的输入，最常见的是簇的数量。一般而言，分层聚类算法也更适合于分类数据。ķķ

分层聚类

有两种类型的层次聚类，即 凝聚聚类和 分裂聚类。凝聚聚类是一种自下而上的方法，涉及将较小的聚类（每个输入模式本身）合并为更大的聚类。分裂聚类是一种自上而下的方法，从一个大型集群（所有输入模式）开始，并将它们分成越来越小的集群，直到每个输入模式本身都在集群中。

分区聚类

在本文中，我们将重点介绍分区聚类算法。分区聚类算法的两个主要类别是   基于质心的聚类  和   基于密度的聚类。本文重点介绍基于质心的聚类; 特别是流行的K-means聚类算法。

聚类理论 - K-Means聚类算法

K-Means聚类算法是一种基于质心的分区聚类算法，它使用均值漂移启发式算法。K均值聚类算法包括三个步骤（初始化，分配和更新）。重复这些步骤，直到聚类已经收敛或已经超过迭代次数，即计算预算已用尽。

初始化

 在搜索空间中随机初始化一组质心。这些质心必须与聚类的数据模式处于同一数量级。换句话说，如果数据模式中的值介于0到100之间，则初始化值介于0和1之间的随机向量是没有意义的。 

注意：确保跨每个属性规范化数据， 而不是每个模式

分配

一旦质心在空间中被随机初始化，我们迭代数据集中的每个模式并将其分配给最近的质心。尝试并行执行此步骤，尤其是在数据集中有大量模式的情况下。

更新

一旦将模式分配给它们的质心，就应用均值漂移启发式。此启发式替换每个质心中的每个值，并将该值的平均值替换为已分配给该质心的模式。这将质心移向属于它的图案的高维平均值。均值漂移启发式问题在于它对异常值敏感。为了克服这个问题，可以使用 K-medoids聚类算法  ，也可以使用   标准化数据来抑制异常值的影响，

迭代

重复这三个步骤进行多次迭代，直到聚类已经收敛于解决方案。一个非常好的GIF显示如下所示，

PYTHON代码 - 聚类类的补充

下面的Python方法是Clustering类的扩展，它允许它执行K-means聚类算法。这涉及使用均值漂移启发式更新质心。

聚类理论 - 聚类质量的度量

假设您有一定的相似度和数据聚类，您仍然需要一个目标函数来衡量该聚类的质量。大多数群集质量指标都尝试根据群集间和群集内距离来优化群集。简单地说，这些指标试图确保同一集群中的模式紧密相连，不同集群中的模式相距甚远。

量化误差

量化误差测量由量化引入的舍入误差，即将一组输入值映射到有限的较小集合。这基本上是我们通过将模式聚类到 k个集群中所做的事情。 

注意：图像还假设我们使用曼哈顿距离。 

在量化误差的上述说明中，我们计算每个模式与其分配的质心之间的平方绝对距离之和。

戴维斯 - 布尔丁指数

  戴维斯-尔丁标准是基于一个特定的聚类的簇内和簇间的距离比。 

注意：图像假设我们使用曼哈顿距离。 

在Davies-Bouldin指数的上图中，我们有三个由三个模式组成的集群。

剪影指数

该   剪影指数是衡量一个特定的聚类质量的最流行的方式之一。它衡量每个模式与其自身集群中的模式的相似程度，与其他集群中的模式进行比较。

def silhouette_index(self, index):# store the total distance to each clustersilhouette_totals = []# store the number of patterns in each clustersilhouette_counts = []# initialize the variablesfor i in range(self.solution.num_clusters):silhouette_totals.append(0.0)silhouette_counts.append(0.0)s = Similarity(self.e)for i in range(len(self.solution.patterns)):# for every pattern other than the one we are calculating nowif i != index:# get the distance between pattern[index] and that patterndistance = s.fractional_distance(self.solution.patterns[i], self.solution.patterns[index])# add that distance to the silhouette totals for the correct clustersilhouette_totals[self.solution.solution[i]] += distance# update the number of patterns in that clustersilhouette_counts[self.solution.solution[i]] += 1# setup variable to find the cluster (not equal to the pattern[index]'s cluster) with the smallest distancesmallest_silhouette = silhouette_totals[0] / max(1.0, silhouette_counts[0])for i in range(len(silhouette_totals)):# calculate the average distance of each pattern in that cluster from pattern[index]silhouette = silhouette_totals[i] / max(1.0, silhouette_counts[i])# if the average distance is lower and it isn't pattern[index] cluster update the valueif silhouette < smallest_silhouette and i != self.solution.solution[index]:smallest_silhouette = silhouette# calculate the internal cluster distances for pattern[index]index_cluster = self.solution.solution[index]index_silhouette = self.e + silhouette_totals[index_cluster] / max(1.0, silhouette_counts[index_cluster])# return the ratio between the smallest distance from pattern[index] to another cluster's patterns and# the patterns belong to the same cluster as pattern[index]return (smallest_silhouette - index_silhouette) / max(smallest_silhouette, index_silhouette)

高轮廓值表示žž  与其自己的簇很好地匹配，并且与相邻簇很不匹配。人们应该致力于为数据集中的每个模式最大化小号一世小号一世。

注意：图像还假设我们使用曼哈顿距离。 

PYTHON代码 - 聚类

在评估给定聚类的适应性之前，您需要实际聚类模式。Clustering类包含将模式分配给最近的质心的方法。

PYTHON代码 - 目标函数

ClusteringQuality类测量给定输入模式的聚类的质量。

聚类理论 - 聚类中的蒙特卡罗方法

K-Means聚类算法的两个最大问题是：

1. 它对质心的随机初始化很敏感
2. 初始化的质心数，ķķ

  确定性初始化

我说初始化通常是随机的，因为K-Means聚类算法有确定性初始化技术。

随机初始化

比较二维空间中的伪随机序列（左）和准随机序列（右）

选择正确的K

聚类结果 - 可视化和质心分析

2014年该群组中的国家/地区

聚类结果 - 结论和进一步研究

诸如东欧与西欧国家之类的俗语出现在地图上，并且（因为缺乏一个更好的词）正确。然而，诸如金砖四国（巴西，俄罗斯，印度，中国和南 

这个排名并不完美，但它再次证实了我们的观点，即世界是一个不平等的地方。

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