生成数据

首先，让我们生成数据。

假设的工具变量和之间的相关矩阵如下：

##       x     d     z     e## x 1.000 0.001 0.002 0.001## d 0.001 1.000 0.700 0.300## z 0.002 0.700 1.000 0.001## e 0.001 0.300 0.001 1.000

具体而言，相关性表明

cor（d，e）= 0.3，这意味着是内生的; dd
cor（d，z）= 0.7，这意味着是的强大工具变量; zzdd
cor（z，e）= 0.001，这意味着工具变量满足排除限制，因为它只影响到.zzyydd

现在，让我们使用指定的相关性为,,和生成数据.xxddzzee

nvars = dim(U) 1numobs = 1000random.normal = matrix(rnorm(nvars*numobs, 0 , nrow=nvars, ncol=numobs);X = U %*% random.normalnewX = t(X)data = as.data.frame(newX)

数据看起来像这样：

##             x          d          z          e## 1 -0.62645381  0.1830168 -0.4694601  1.7474361## 2  0.32950777 -0.8201385 -0.2255741  0.2818908## 3  0.57578135 -0.3048125  0.8670061 -0.1795257## 4 -0.62124058 -2.2153200 -0.7481687 -1.0350488## 5 -0.01619026  0.9438195  1.2471197  0.5820200## 6  0.91897737  0.7830549  0.6025820 -1.5924689

以及数据之间的相关性

##             x          d            z           e## x  1.00000000 0.00668391 -0.012319595 0.016239235## d  0.00668391 1.00000000  0.680741763 0.312192680## z -0.01231960 0.68074176  1.000000000 0.006322354## e  0.01623923 0.31219268  0.006322354 1.000000000

正如我们之前指定的那样。

现在让我们指定真正的数据生成过程并生成解释变量YY

如果我们假装我们不知道真正的关系并使用和来解释，我们对和正确系数应该接近到。

OLS

如果我们只使用OLS来估计系数：

#### Call:## lm(formula = y ~ x + d)#### Residuals:##     Min      1Q  Median      3Q     Max## -3.2395 -0.5952 -0.0308  0.6617  2.7592#### Coefficients:##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## (Intercept)  9.99495    0.03105  321.89   <2e-16 ***## x            1.01408    0.02992   33.89   <2e-16 ***## d            1.31356    0.03023   43.46   <2e-16 ***## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 0.9817 on 997 degrees of freedom## Multiple R-squared:  0.7541, Adjusted R-squared:  0.7536## F-statistic:  1528 on 2 and 997 DF,  p-value: < 2.2e-16

b的估计系数是1.31 instread of 1. ## 2SLS ##现在我们使用2SLS来估计这种关系。我们使用z作为d的工具变量

第1阶段：在和上回归，并将d的拟合值保存为d.ddxxzz

#### Call:## lm(formula = d ~ x + z)#### Residuals:##      Min       1Q   Median       3Q      Max## -2.59344 -0.52572  0.04978  0.53115  2.01555#### Coefficients:##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## (Intercept) -0.01048    0.02383   -0.44    0.660## x            0.01492    0.02296    0.65    0.516## z            0.68594    0.02337   29.36   <2e-16 ***## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 0.7534 on 997 degrees of freedom## Multiple R-squared:  0.4636, Adjusted R-squared:  0.4626## F-statistic: 430.9 on 2 and 997 DF,  p-value: < 2.2e-16

第2阶段：在和上回归yyxxd.hatd.hat

#### Call:## lm(formula = y ~ x + d.hat)#### Residuals:##     Min      1Q  Median      3Q     Max## -4.4531 -1.0333  0.0228  1.0657  4.0104#### Coefficients:##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## (Intercept)  9.99507    0.04786  208.85   <2e-16 ***## x            1.01609    0.04612   22.03   <2e-16 ***## d.hat        1.00963    0.06842   14.76   <2e-16 ***## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 1.513 on 997 degrees of freedom## Multiple R-squared:  0.4158, Adjusted R-squared:  0.4146## F-statistic: 354.8 on 2 and 997 DF,  p-value: < 2.2e-16