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copula是将多变量分布函数与其边际分布函数耦合的函数，通常称为边缘。Copula是建模和模拟相关随机变量的绝佳工具。Copula的主要吸引力在于，通过使用它们，你可以分别对相关结构和边缘（即每个随机变量的分布）进行建模。 

copulas如何工作 

首先，让我们了解copula的工作方式。 

set.seed（100）m < -  3n < -  2000z < -  mvrnorm（n，mu = rep（0，m），Sigma = sigma，empirical = T）

我们使用 cor()和配对图检查样本相关性。 

pairs.panels（Z）[，1] [，2] [，3][1，] 1.0000000 0.3812244 0.1937548[2，] 0.3812244 1.0000000 -0.7890814[3，] 0.1937548 -0.7890814 1.0000000

pairs.panels（U）

这是包含新随机变量的配对图 u。 

 我们可以绘制矢量的3D图表示 u。 

现在，作为最后一步，我们只需要选择边缘并应用它。我选择了边缘为Gamma，Beta和Student，并使用下面指定的参数。

x1 < -  qgamma（u [，1]，shape = 2，scale = 1）x2 < -  qbeta（u [，2]，2,2）x3 < -  qt（u [，3]，df = 5）

下面是我们模拟数据的3D图。 

df < -  cbind（x1，x2，x3）pairs.panels（DF）x1 x2 x3x1 1.0000000 0.3812244 0.1937548x2 0.3812244 1.0000000 -0.7890814x3 0.1937548 -0.7890814 1.0000000

这是随机变量的配对图：

使用copula

让我们使用copula复制上面的过程。

现在我们已经通过copula（普通copula）指定了依赖结构并设置了边缘， mvdc()函数生成了所需的分布。然后我们可以使用 rmvdc()函数生成随机样本。

colnames（Z2）< -  c（“x1”，“x2”，“x3”）pairs.panels（Z2）

模拟数据当然非常接近之前的数据，显示在下面的配对图中：

简单的应用示例

现在为现实世界的例子。我们将拟合两个股票 ，并尝试使用copula模拟 。 

让我们在R中加载 ：

cree < -  read.csv（'cree_r.csv'，header = F）$ V2yahoo < -  read.csv（'yahoo_r.csv'，header = F）$ V2

在直接进入copula拟合过程之前，让我们检查两个股票收益之间的相关性并绘制回归线：

我们可以看到 正相关 ：

在上面的第一个例子中，我选择了一个正态的copula模型，但是，当将这些模型应用于实际数据时，应该仔细考虑哪些更适合数据。例如，许多copula更适合建模非对称相关，其他强调尾部相关性等等。我对股票回报的猜测是，t-copula应该没问题，但是猜测肯定是不够的。本质上， 允许我们通过函数使用BIC和AIC执行copula选择 ：

pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））[，1]selectedCopula$ PAR[1] 0.4356302$ PAR2[1] 3.844534

拟合算法确实选择了t-copula并为我们估计了参数。 
让我们尝试拟合建议的模型，并检查参数拟合。

t.copset.seed（500）m < -  pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））COEF（FIT）rho.1 df0.43563 3.84453

 我们来看看我们刚估计的copula的密度

rho < -  coef（fit）[1]df < -  coef（fit）[2]

现在我们只需要建立Copula并从中抽取3965个随机样本。

rCopula（3965，tCopula（  = 2， ，df = df））[，1] [，2][1，] 1.0000000 0.3972454[2，] 0.3972454 1.0000000

这是包含的样本的图：

t-copula通常适用于在极值（分布的尾部）中存在高度相关性的现象。
 

现在我们正面临困难：对边缘进行建模。为简单起见，我们将假设正态分布 。因此，我们估计边际的参数。

直方图显示如下：

现在我们在函数中应用copula，从生成的多变量分布中获取模拟观测值。最后，我们将模拟结果与原始数据进行比较。

这是在假设正常边缘和依赖结构的t-copula的情况下数据的最终散点图：

正如您所看到的，t-copula导致结果接近实际观察结果 。 

让我们尝试 df=1和 df=8：

 
显然，该参数 df对于确定分布的形状非常重要。随着 df增加，t-copula倾向于高斯copula。

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参考文献

1. 用机器学习识别不断变化的股市状况—隐马尔科夫模型(HMM)的应用

2. R语言GARCH-DCC模型和DCC（MVT）建模估计

3. R语言实现 Copula 算法建模依赖性案例分析报告

4. R语言COPULAS和金融时间序列数据VaR分析

5. R语言多元COPULA GARCH 模型时间序列预测

6. 用R语言实现神经网络预测股票实例

7. r语言预测波动率的实现：ARCH模型与HAR-RV模型

8. R语言如何做马尔科夫转换模型markov switching model

9. matlab使用Copula仿真优化市场风险