详解 | 如何用Python实现机器学习算法

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人生苦短，就用 Python。

在 Kaggle 最新发布的全球数据科学/机器学习现状报告中，来自 50 多个国家的 16000 多位从业者纷纷向新手们推荐 Python 语言，用以学习机器学习。

那么，用Python实现出来的机器学习算法都是什么样子呢？营长刚好在 GitHub 上发现了东南大学研究生“Lawlite”的一个项目——机器学习算法的Python实现，下面从线性回归到反向传播算法、从SVM到K-means聚类算法，咱们一一来分析其中的Python代码。

目录

• 一、线性回归

  • 1、代价函数

  • 2、梯度下降算法

  • 3、均值归一化

  • 4、最终运行结果

  • 5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

• 二、逻辑回归

  • 1、代价函数

  • 2、梯度

  • 3、正则化

  • 4、S型函数（即）

  • 5、映射为多项式

  • 6、使用的优化方法

  • 7、运行结果

  • 8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

• 逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

  • 1、随机显示100个数字

  • 2、OneVsAll

  • 3、手写数字识别

  • 4、预测

  • 5、运行结果

  • 6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

• 三、BP神经网络

  • 1、神经网络model

  • 2、代价函数

  • 3、正则化

  • 4、反向传播BP

  • 5、BP可以求梯度的原因

  • 6、梯度检查

  • 7、权重的随机初始化

  • 8、预测

  • 9、输出结果

• 四、SVM支持向量机

  • 1、代价函数

  • 2、Large Margin

  • 3、SVM Kernel（核函数）

  • 4、使用中的模型代码

  • 5、运行结果

• 五、K-Means聚类算法

  • 1、聚类过程

  • 2、目标函数

  • 3、聚类中心的选择

  • 4、聚类个数K的选择

  • 5、应用——图片压缩

  • 6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

  • 7、运行结果

• 六、PCA主成分分析（降维）

  • 1、用处

  • 2、2D-->1D，nD-->kD

  • 3、主成分分析PCA与线性回归的区别

  • 4、PCA降维过程

  • 5、数据恢复

  • 6、主成分个数的选择（即要降的维度）

  • 7、使用建议

  • 8、运行结果

  • 9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维

• 七、异常检测 Anomaly Detection

  • 1、高斯分布（正态分布）

  • 2、异常检测算法

  • 3、评价的好坏，以及的选取

  • 4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）

  • 5、多元高斯分布

  • 6、单元和多元高斯分布特点

  • 7、程序运行结果

     

    正文

     

    一、线性回归

     

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LinearRegression

     

    全部代码

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression.py

     

    1、代价函数

     

    

     

    其中： 

     

    下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近

     

    共有m条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消

     

    前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去

     

    实现代码：

     

    # 计算代价函数

    def computerCost(X,y,theta):

        m = len(y)

        J = 0

        

        J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J

        return J

     

    注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)

     

    2、梯度下降算法

     

    代价函数对求偏导得到：

     

    所以对theta的更新可以写为：

     

    

     

    其中为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....

     

    为什么梯度下降可以逐步减小代价函数？

     

    假设函数f(x)

     

    泰勒展开：f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)，

     

    令：△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α

     

    将△x代入泰勒展开式中：f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]?+o(△x)

     

    可以看出，α是取得很小的正数，[f'(x)]?也是正数，所以可以得出：f(x+△x)<=f(x)

     

    所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。

     

    # 梯度下降算法

    def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):

        m = len(y)      

        n = len(theta)

        

        temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters)))   # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式

        

        J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值

        

        for i in range(num_iters):  # 遍历迭代次数    

            h = np.dot(X,theta)     # 计算内积，matrix可以直接乘

            temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y)))   #梯度的计算

            theta = temp[:,i]

            J_history[i] = computerCost(X,y,theta)      #调用计算代价函数

            print '.',      

        return theta,J_history  

     

    3、均值归一化

     

    目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法

     

    其中  为所有此feture数据的平均值

     

    可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差

     

    实现代码：

     

    # 归一化feature

    def featureNormaliza(X):

        X_norm = np.array(X)            #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算

        #定义所需变量

        mu = np.zeros((1,X.shape[1]))   

        sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))

        

        mu = np.mean(X_norm,0)          # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）

        sigma = np.std(X_norm,0)        # 求每一列的标准差

        for i in range(X.shape[1]):     # 遍历列

            X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i]  # 归一化

        

        return X_norm,mu,sigma

     

    注意预测的时候也需要均值归一化数据

     

    4、最终运行结果

     

    代价随迭代次数的变化

     

    

     

    5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression_scikit-learn.py

     

    导入包

    from sklearn import linear_model 

    from sklearn.preprocessing import StandardScaler    #引入缩放的包 

     

    归一化

    # 归一化操作    

    scaler = StandardScaler()        

    scaler.fit(X)     

    x_train = scaler.transform(X)     

    x_test = scaler.transform(np.array([1650,3])) 

     

    线性模型拟合

     # 线性模型拟合     

    model = linear_model.LinearRegression()     

    model.fit(x_train, y) 

     

    预测

    #预测结果     

    result = model.predict(x_test) 

     

     

    二、逻辑回归

     

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LogisticRegression

     

    全部代码

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression.py

     

    1、代价函数

     

    

     

    可以综合起来为： 

     

    

     

     其中：

     

     

     

    为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数

     

    的图像如下，即y=1时： 

     

    

     

    可以看出，当趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值

     

    同理的图像如下（y=0）：

     

    

     

    2、梯度

     

    同样对代价函数求偏导： 

     

    

     

    可以看出与线性回归的偏导数一致

     

    推导过程 

     

    

     

    3、正则化

     

    目的是为了防止过拟合

     

    在代价函数中加上一项

     

    

     

    注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化

     

    正则化后的代价：

     

    # 代价函数

    def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):

        m = len(y)

        J = 0

        

        h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)

        theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 

        theta1[0] = 0   

        

        temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)

        J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程

        return J

     

    正则化后的代价的梯度

     

    # 计算梯度 

    def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):

        m = len(y)

        grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))

        

        h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)

        theta1 = initial_theta.copy()

        theta1[0] = 0

     

        grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度

        return grad  

     

    4、S型函数（即）

     

    实现代码：

    # S型函数

    def sigmoid(z):

        h = np.zeros((len(z),1))    # 初始化，与z的长度一置

     

        h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))     return h 

     

    5、映射为多项式

     

    因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合

     

    eg:映射为2次方的形式:

     

    实现代码：

     

    # 映射为多项式 

    def mapFeature(X1,X2):

        degree = 3;                     # 映射的最高次方

        out = np.ones((X1.shape[0],1))  # 映射后的结果数组（取代X）

        '''

        这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2

        '''

        for i in np.arange(1,degree+1): 

            for j in range(i+1):

                temp = X1**(i-j)*(X2**j)    #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*

                out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))

        return out

     

    6、使用scipy的优化方法

     

    梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数

     

    调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

    costFunction是自己实现的一个求代价的函数，

     

    initial_theta表示初始化的值,

     

    fprime指定costFunction的梯度

     

    args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回

     

    result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))     

     

    7、运行结果

     

    data1决策边界和准确度

     

    

     

    data2决策边界和准确度

     

    

     

    8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_scikit-learn.py

     

    导入包

    from sklearn.linear_model import LogisticRegression 

    from sklearn.preprocessing import StandardScaler 

    from sklearn.cross_validation import train_test_split 

    import numpy as np 

     

    划分训练集和测试集

    # 划分为训练集和测试集     

    x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2) 

     

    归一化

    # 归一化     

    scaler = StandardScaler()     

    scaler.fit(x_train)     

    x_train = scaler.fit_transform(x_train)     

    x_test = scaler.fit_transform(x_test) 

     

    逻辑回归

    #逻辑回归     

    model = LogisticRegression()     

    model.fit(x_train,y_train) 

     

    预测

    # 预测     

    predict = model.predict(x_test)    

    right = sum(predict == y_test)          

    predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块，好观察     

    print predict     

    print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))       #计算在测试集上的准确度 

     

     

    逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

     

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression

     

    全部代码

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll.py

     

    1、随机显示100个数字

     

    我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下 

     

    

     

    灰度图： 

     

    

     

    实现代码：

    # 显示100个数字

    def display_data(imgData):

        sum = 0

        '''

        显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）

        - 初始化一个二维数组

        - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组

        - 显示即可

        '''

        pad = 1

        display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))

        for i in range(10):

            for j in range(10):

                display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F"))    # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行

                sum += 1

                

        plt.imshow(display_array,cmap='gray')   #显示灰度图像

        plt.axis('off')

        plt.show()

     

    2、OneVsAll

     

    如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了

     

    如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推... 

     

    

     

    可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

     

    3、手写数字识别

     

    共有0-9，10个数字，需要10次分类

     

    由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理

     

    说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0.... 

     

    

     

    然后调用梯度下降算法求解theta

     

    实现代码：

    # 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta    

    def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):

        # 初始化变量

        m,n = X.shape

        all_theta = np.zeros((n+1,num_labels))  # 每一列对应相应分类的theta,共10列

        X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))       # X前补上一列1的偏置bias

        class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系

        initial_theta = np.zeros((n+1,1))       # 初始化一个分类的theta

        

        # 映射y

        for i in range(num_labels):

            class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

        

        #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')    

        

        '''遍历每个分类，计算对应的theta值'''

        for i in range(num_labels):

            result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法

            all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1)   # 放入all_theta中

            

        all_theta = np.transpose(all_theta) 

        return all_theta

     

    4、预测

     

    之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推

     

    实现代码：

    # 预测

    def predict_oneVsAll(all_theta,X):

        m = X.shape[0]

        num_labels = all_theta.shape[0]

        p = np.zeros((m,1))

        X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))   #在X最前面加一列1

        

        h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta)))  #预测

     

        '''

        返回h中每一行最大值所在的列号

        - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）

        - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）

        '''

        p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))  

        for i in np.arange(1, m):

            t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))

            p = np.vstack((p,t))

        return p

     

    5、运行结果

     

    10次分类，在训练集上的准确度：

     

    

     

    6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll_scikit-learn.py

     

    1、导入包

    from scipy import io as spio 

    import numpy as np 

    from sklearn import svm 

    from sklearn.linear_model import LogisticRegression 

     

    2、加载数据

    data = loadmat_data("data_digits.mat")      

    X = data['X']   # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px     

    y = data['y']   # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)     

    y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)

     

    3、拟合模型

    model = LogisticRegression()     

    model.fit(X, y) # 拟合 

     

    4、预测

    predict = model.predict(X) #预测          

    print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100) 

     

    5、输出结果（在训练集上的准确度） 

     

    

     

     

    三、BP神经网络

     

    全部代码

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/NeuralNetwok/NeuralNetwork.py

     

    1、神经网络model

     

    先介绍个三层的神经网络，如下图所示

     

    输入层（input layer）有三个units（为补上的bias，通常设为1）

     

    表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit

     

    为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重 

     

    

     

    所以可以得到：

     

    隐含层：

     

    

     

    

     

    

     

    输出层，

     

    其中，S型函数，也成为激励函数

     

    可以看出 为3x4的矩阵，为1x4的矩阵

     

    ==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）

     

    2、代价函数

     

    假设最后输出的，即代表输出层有K个单元

     

    ，

     

     其中，代表第i个单元输出与逻辑回归的代价函数

     

    
    

     

    差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）

     

    3、正则化

     

    L-->所有层的个数

     

    -->第l层unit的个数

     

    正则化后的代价函数为

     

    

     

    共有L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)

     

    正则化后的代价函数实现代码：

     

    # 代价函数

    def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):

        length = nn_params.shape[0] # theta的中长度

        # 还原theta1和theta2

        Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)

        Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)

        

        # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')

        

        m = X.shape[0]

        class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系

        # 映射y

        for i in range(num_labels):

            class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

         

        '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''    

        Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    

        Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]

        Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    

        Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]

        # 正则化向theta^2

        term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))

        

        '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''

        a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))      

        z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))    

        a2 = sigmoid(z2)

        a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))

        z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))

        h  = sigmoid(z3)    

        '''代价'''    

        J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m   

        

        return np.ravel(J)

     

    4、反向传播BP

     

    上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度

     

    BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

     

    假设4层的神经网络,记为-->l层第j个单元的误差

     

    《===》（向量化）

     

    

     

    

     

    没有，因为对于输入没有误差

     

    因为S型函数的倒数为：

     

    ，

     

    所以上面的和可以在前向传播中计算出来

     

    反向传播计算梯度的过程为：

     

    （是大写的）

     

    for i=1-m:-

    

     

    -正向传播计算（l=2,3,4...L）

     

    -反向计算、...；

     

    -

     

    -

     

    

     

    最后，即得到代价函数的梯度

     

    实现代码：

     

    # 梯度

    def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):

        length = nn_params.shape[0]

        Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)

        Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)

        m = X.shape[0]

        class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系    

        # 映射y

        for i in range(num_labels):

            class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

         

        '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''

        Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    

        Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]

        Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    

        Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]

        

        Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重

        Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重

        

        Theta1[:,0] = 0;

        Theta2[:,0] = 0;

        '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''

        a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))

        z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))

        a2 = sigmoid(z2)

        a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))

        z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))

        h  = sigmoid(z3)

        

        '''反向传播，delta为误差，'''

        delta3 = np.zeros((m,num_labels))

        delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))

        for i in range(m):

            delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]

            Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))

            delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])

            Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))

        

        '''梯度'''

        grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m

        return np.ravel(grad)

     

    5、BP可以求梯度的原因

     

    实际是利用了链式求导法则

     

    因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算

     

    大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。 

     

    

     

    求误差更详细的推导过程： 

     

    

     

    6、梯度检查

     

    检查利用BP求的梯度是否正确

     

    利用导数的定义验证： 

     

    求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近

     

    验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了

     

    实现代码：

     

    # 检验梯度是否计算正确

    # 检验梯度是否计算正确

    def checkGradient(Lambda = 0):

        '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''

        input_layer_size = 3

        hidden_layer_size = 5

        num_labels = 3

        m = 5

        initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); 

        initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)

        X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)

        y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y

        

        y = y.reshape(-1,1)

        nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta 

        '''BP求出梯度'''

        grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, 

                         num_labels, X, y, Lambda)  

        '''使用数值法计算梯度'''

        num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))

        step = np.zeros((nn_params.shape[0]))

        e = 1e-4

        for i in range(nn_params.shape[0]):

            step[i] = e

            loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 

                                  num_labels, X, y, 

                                  Lambda)

            loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 

                                  num_labels, X, y, 

                                  Lambda)

            num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)

            step[i]=0

        # 显示两列比较

        res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))

        print res

     

    7、权重的随机初始化

     

    神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。

     

    所以应该初始化为接近0的数

     

    实现代码

     

    # 随机初始化权重theta

    def randInitializeWeights(L_in,L_out):

        W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重

        epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5

        W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵

        return W

     

    8、预测

     

    正向传播预测结果

     

    实现代码

     

    # 预测

    def predict(Theta1,Theta2,X):

        m = X.shape[0]

        num_labels = Theta2.shape[0]

        #p = np.zeros((m,1))

        '''正向传播，预测结果'''

        X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))

        h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))

        h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))

        h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))

        

        '''

        返回h中每一行最大值所在的列号

        - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）

        - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）

        '''

        #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')

        p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))  

        for i in np.arange(1, m):

            t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))

            p = np.vstack((p,t))

        return p 

     

    9、输出结果

     

    梯度检查：

     

    

     

    随机显示100个手写数字

     

    

     

    显示theta1权重

     

    

     

    训练集预测准确度

     

    

    归一化后训练集预测准确度

     

    

     

     

    四、SVM支持向量机

     

    1、代价函数

     

    在逻辑回归中，我们的代价为：

     

    ，

     

    其中：

     

    ，

     

    如图所示，如果y=1，cost代价函数如图所示

     

    

     

    我们想让，即z>>0，这样的话cost代价函数才会趋于最小（这是我们想要的），所以用途中红色的函数代替逻辑回归中的cost

     

    当y=0时同样，用代替 

     

    

     

    最终得到的代价函数为：

     

    

     

    最后我们想要

     

    之前我们逻辑回归中的代价函数为：

     

    

     

    可以认为这里的，只是表达形式问题，这里C的值越大，SVM的决策边界的margin也越大，下面会说明

     

    2、Large Margin

     

    如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开

     

    

     

    先说一下向量内积

     

    ，

     

    表示u的欧几里得范数（欧式范数），

     

    向量V在向量u上的投影的长度记为p，则：向量内积：

     

    
    

     

    

     

    根据向量夹角公式推导一下即可，

     

    前面说过，当C越大时，margin也就越大，我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时，C的乘积项

     

    

     

    要很小，所以近似为：

     

    ，

     

    我们最后的目的就是求使代价最小的θ

     

    由

     

    

     

    可以得到：

     

    ，

     

    p即为x在θ上的投影

     

    如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到θ上的投影为p,则或者，若是p很小，则需要很大，这与我们要求的θ使最小相违背，所以最后求的是large margin

     

    

     

    3、SVM Kernel（核函数）

     

    对于线性可分的问题，使用线性核函数即可

     

    对于线性不可分的问题，在逻辑回归中，我们是将feature映射为使用多项式的形式，SVM中也有多项式核函数，但是更常用的是高斯核函数，也称为RBF核

     

    高斯核函数为：

     

    假设如图几个点， 

    

     令：

    ，

     . . .

     

    可以看出，若是x与距离较近，==》，（即相似度较大），若是x与距离较远，==》，（即相似度较低）

     

    高斯核函数的σ越小，f下降的越快

     

    

     

    如何选择初始的

     

    训练集：

     

    选择：

     

    对于给出的x，计算f,令：，

     

    所以：

     

    最小化J求出θ，

     

    

     

    如果，==》预测y=1

     

    4、使用scikit-learn中的SVM模型代码

     

    全部代码

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/SVM/SVM_scikit-learn.py

     

    线性可分的,指定核函数为linear：

     

    '''data1——线性分类'''

    data1 = spio.loadmat('data1.mat')

    X = data1['X']

    y = data1['y']

    y = np.ravel(y)

    plot_data(X,y)

        

    model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数

     

    非线性可分的，默认核函数为rbf

     

    '''data2——非线性分类'''

    data2 = spio.loadmat('data2.mat')

    X = data2['X']

    y = data2['y']

    y = np.ravel(y)

    plt = plot_data(X,y)

    plt.show()

        

    model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y)     # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好

     

    5、运行结果

     

    线性可分的决策边界：

     

    

     

    线性不可分的决策边界：

     

    

     

     

    五、K-Means聚类算法

     

    全部代码

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Menas.py

     

    1、聚类过程

     

    聚类属于无监督学习，不知道y的标记分为K类

     

    K-Means算法分为两个步骤

     

    第一步：簇分配，随机选K个点作为中心，计算到这K个点的距离，分为K个簇

     

    第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。

     

    如下图所示：

     

    随机分配的聚类中心

     

    

     

    重新计算聚类中心，移动一次

     

    

     

    最后10步之后的聚类中心

     

    

     

    计算每条数据到哪个中心最近实现代码：

     

    # 找到每条数据距离哪个类中心最近    

    def findClosestCentroids(X,initial_centroids):

        m = X.shape[0]                  # 数据条数

        K = initial_centroids.shape[0]  # 类的总数

        dis = np.zeros((m,K))           # 存储计算每个点分别到K个类的距离

        idx = np.zeros((m,1))           # 要返回的每条数据属于哪个类

        

        '''计算每个点到每个类中心的距离'''

        for i in range(m):

            for j in range(K):

                dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))

        

        '''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别

        - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值

        - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标

         - 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以）

        '''  

        dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))

        return idx[0:dis.shape[0]]  # 注意截取一下

     

    计算类中心实现代码：

     

    # 计算类中心

    def computerCentroids(X,idx,K):

        n = X.shape[1]

        centroids = np.zeros((K,n))

        for i in range(K):

            centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1)   # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值

        return centroids

     

    2、目标函数

     

    也叫做失真代价函数

     

    

     

    最后我们想得到：

     

    其中表示第i条数据距离哪个类中心最近，其中即为聚类的中心

     

    3、聚类中心的选择

     

    随机初始化，从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心

     

    随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心

     

    实现代码：(这里随机一次)

     

    # 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心

    def kMeansInitCentroids(X,K):

        m = X.shape[0]

        m_arr = np.arange(0,m)      # 生成0-m-1

        centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))

        np.random.shuffle(m_arr)    # 打乱m_arr顺序    

        rand_indices = m_arr[:K]    # 取前K个

        centroids = X[rand_indices,:]

        return centroids

     

    4、聚类个数K的选择

     

    聚类是不知道y的label的，所以不知道真正的聚类个数

     

    肘部法则（Elbow method）

     

    作代价函数J和K的图，若是出现一个拐点，如下图所示，K就取拐点处的值，下图此时K=3 

     

    

     

    若是很平滑就不明确，人为选择。

     

    第二种就是人为观察选择

     

    5、应用——图片压缩

     

    将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值

     

    执行聚类的算法代码：

     

    # 聚类算法

    def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process):

        m,n = X.shape                   # 数据条数和维度

        K = initial_centroids.shape[0]  # 类数

        centroids = initial_centroids   # 记录当前类中心

        previous_centroids = centroids  # 记录上一次类中心

        idx = np.zeros((m,1))           # 每条数据属于哪个类

        

        for i in range(max_iters):      # 迭代次数

            print u'迭代计算次数：%d'%(i+1)

            idx = findClosestCentroids(X, centroids)

            if plot_process:    # 如果绘制图像

                plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程

                previous_centroids = centroids  # 重置

            centroids = computerCentroids(X, idx, K)    # 重新计算类中心

        if plot_process:    # 显示最终的绘制结果

            plt.show()

        return centroids,idx    # 返回聚类中心和数据属于哪个类

     

    6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Means_scikit-learn.py

     

    导入包

    from sklearn.cluster import KMeans 

     

    使用模型拟合数据

    model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据 

     

    聚类中心

    centroids = model.cluster_centers_  # 聚类中心 

     

    7、运行结果

     

    二维数据类中心的移动

     

    

     

    图片压缩

     

    

     

     

    六、PCA主成分分析（降维）

     

    全部代码

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py

     

    1、用处

     

    数据压缩（Data Compression）,使程序运行更快

     

    可视化数据，例如3D-->2D等

    ......

     

    2、2D-->1D，nD-->kD

     

    如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是投影距离的平方和（投影误差）最小 

     

    

     

    注意数据需要归一化处理

     

    思路是找1个向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小

     

    那么nD-->kD就是找k个向量，

     

    所有数据投影到上面使投影误差最小

     

    eg:3D-->2D,2个向量

     

    就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

     

    3、主成分分析PCA与线性回归的区别

     

    线性回归是找x与y的关系，然后用于预测y

     

    PCA是找一个投影面，最小化data到这个投影面的投影误差

     

    4、PCA降维过程

     

    数据预处理（均值归一化）

     

    公式：

     

    就是减去对应feature的均值，然后除以对应特征的标准差（也可以是最大值-最小值）

     

    实现代码：

     

    # 归一化数据

       def featureNormalize(X):

           '''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差'''

           n = X.shape[1]

           mu = np.zeros((1,n));

           sigma = np.zeros((1,n))

           

           mu = np.mean(X,axis=0)

           sigma = np.std(X,axis=0)

           for i in range(n):

               X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]

           return X,mu,sigma

     

    计算协方差矩阵Σ（Covariance Matrix）：

     

    

     

    注意这里的Σ和求和符号不同

     

    协方差矩阵对称正定（不理解正定的看看线代）

     

    大小为nxn,n为feature的维度

     

    实现代码：

    Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m  # 求Sigma 

     

    计算Σ的特征值和特征向量

     

    可以是用svd奇异值分解函数：U,S,V = svd(Σ)

     

    返回的是与Σ同样大小的对角阵S（由Σ的特征值组成）[注意：matlab中函数返回的是对角阵，在python中返回的是一个向量，节省空间]

     

    还有两个酉矩阵U和V，且

     

    

     

    注意：svd函数求出的S是按特征值降序排列的，若不是使用svd,需要按特征值大小重新排列U

     

    降维

     

    选取U中的前K列（假设要降为K维）

     

    

     

    Z就是对应降维之后的数据

     

    实现代码：

     

    # 映射数据

       def projectData(X_norm,U,K):

           Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))

           

           U_reduce = U[:,0:K]          # 取前K个

           Z = np.dot(X_norm,U_reduce) 

           return Z

     

    过程总结：

    Sigma = X'*X/m

    U,S,V = svd(Sigma)

    Ureduce = U[:,0:k]

    Z = Ureduce'*x

     

    5、数据恢复

     

    因为：，

     

    所以： （注意这里是X的近似值）

     

    又因为Ureduce为正定矩阵，【正定矩阵满足：，所以：】，

     

    所以这里：

     

    实现代码：

    # 恢复数据 

        def recoverData(Z,U,K):

            X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))

            U_recude = U[:,0:K]

            X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude))  # 还原数据（近似）

            return X_rec

     

    6、主成分个数的选择（即要降的维度）

     

    如何选择

     

    投影误差（project error）：

     

    总变差（total variation）:

     

    若误差率（error ratio）：，则称99%保留差异性

     

    误差率一般取1%，5%，10%等

     

    如何实现

     

    若是一个个试的话代价太大

     

    之前U,S,V = svd(Sigma),我们得到了S，这里误差率error ratio:

     

    

     

    可以一点点增加K尝试。

     

    7、使用建议

     

    不要使用PCA去解决过拟合问题Overfitting，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）

     

    只有在原数据上有好的结果，但是运行很慢，才考虑使用PCA

     

    8、运行结果

     

    2维数据降为1维

     

    要投影的方向

     

    

     

    2D降为1D及对应关系

     

    

     

    人脸数据降维

     

    原始数据

     

    

     

    可视化部分U矩阵信息

     

    

     

    恢复数据

     

    

     

    9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py_scikit-learn.py

     

    导入需要的包：

     

    #-*- coding: utf-8 -*-

    # Author:bob

    # Date:2016.12.22

    import numpy as np

    from matplotlib import pyplot as plt

    from scipy import io as spio

    from sklearn.decomposition import pca

    from sklearn.preprocessing import StandardScaler

     

    归一化数据

    '''归一化数据并作图'''     

    scaler = StandardScaler()     

    scaler.fit(X)    

     x_train = scaler.transform(X) 

     

    使用PCA模型拟合数据，并降维

     

    n_components对应要将的维度

    '''拟合数据'''

    K=1 # 要降的维度

    model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train)   # 拟合数据，n_components定义要降的维度

    Z = model.transform(x_train)    # transform就会执行降维操作

     

    数据恢复

     

    model.components_会得到降维使用的U矩阵

     

     '''数据恢复并作图'''     

    Ureduce = model.components_     # 得到降维用的Ureduce     

    x_rec = np.dot(Z,Ureduce)       # 数据恢复 

     

     

    七、异常检测 Anomaly Detection

     

    全部代码

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/AnomalyDetection/AnomalyDetection.py

     

    1、高斯分布（正态分布）Gaussian distribution

     

    分布函数：

     

    其中，u为数据的均值，σ为数据的标准差

     

    σ越小，对应的图像越尖

     

    参数估计（parameter estimation）

     

    

     

    

     

    2、异常检测算法

     

    例子

     

    训练集：,其中

     

    假设

     

    相互独立，建立model模型：

     

    

    过程

     

    选择具有代表异常的feature:xi

     

    参数估计：

     

    计算p(x),若是P(x)<ε则认为异常，其中ε为我们要求的概率的临界值threshold

    这里只是单元高斯分布，假设了feature之间是独立的，下面会讲到多元高斯分布，会自动捕捉到feature之间的关系

     

    参数估计实现代码

     

    # 参数估计函数（就是求均值和方差）

    def estimateGaussian(X):

        m,n = X.shape

        mu = np.zeros((n,1))

        sigma2 = np.zeros((n,1))

        

        mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列，每列的均值

        sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差

        return mu,sigma2

     

    3、评价p(x)的好坏，以及ε的选取

     

    对偏斜数据的错误度量

     

    因为数据可能是非常偏斜的（就是y=1的个数非常少，(y=1表示异常)），所以可以使用Precision/Recall，计算F1Score(在CV交叉验证集上)

     

    例如：预测癌症，假设模型可以得到99%能够预测正确，1%的错误率，但是实际癌症的概率很小，只有0.5%，那么我们始终预测没有癌症y=0反而可以得到更小的错误率。使用error rate来评估就不科学了。

     

    如下图记录：

    

     

    ，即：正确预测正样本/所有预测正样本

     

    ，即：正确预测正样本/真实值为正样本

     

    总是让y=1(较少的类)，计算Precision和Recall

     

    

     

    还是以癌症预测为例，假设预测都是no-cancer，TN=199，FN=1，TP=0，FP=0，所以：Precision=0/0，Recall=0/1=0，尽管accuracy=199/200=99.5%，但是不可信。

     

    ε的选取

     

    尝试多个ε值，使F1Score的值高

     

    实现代码

     

    # 选择最优的epsilon，即：使F1Score最大    

    def selectThreshold(yval,pval):

        '''初始化所需变量'''

        bestEpsilon = 0.

        bestF1 = 0.

        F1 = 0.

        step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000

        '''计算'''

        for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):

            cvPrecision = pval<epsilon

            tp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 1)).astype(float)  # sum求和是int型的，需要转为float

            fp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)

            fn = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)

            precision = tp/(tp+fp)  # 精准度

            recision = tp/(tp+fn)   # 召回率

            F1 = (2*precision*recision)/(precision+recision)  # F1Score计算公式

            if F1 > bestF1:  # 修改最优的F1 Score

                bestF1 = F1

                bestEpsilon = epsilon

        return bestEpsilon,bestF1

     

    4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）

     

    如果一些数据不是满足高斯分布的，可以变化一下数据，例如log(x+C),x^(1/2)等

     

    如果p(x)的值无论异常与否都很大，可以尝试组合多个feature,(因为feature之间可能是有关系的)

     

    5、多元高斯分布

     

    单元高斯分布存在的问题

     

    如下图，红色的点为异常点，其他的都是正常点（比如CPU和memory的变化）

     

    

     

    x1对应的高斯分布如下：

     

    

     

    x2对应的高斯分布如下：

     

    

     

    可以看出对应的p(x1)和p(x2)的值变化并不大，就不会认为异常

     

    因为我们认为feature之间是相互独立的，所以如上图是以正圆的方式扩展

     

    多元高斯分布

     

    ，并不是建立p(x1),p(x2)...p(xn)，而是统一建立p(x)

     

    其中参数：,Σ为协方差矩阵

     

    

     

    同样，|Σ|越小，p(x)越尖

     

    例如：

     

    ，

     

    表示x1,x2正相关，即x1越大，x2也就越大，如下图，也就可以将红色的异常点检查出了 

     

    

     

    若：

    

     

    表示x1,x2负相关

     

    实现代码：

     

    # 多元高斯分布函数    

    def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):

        k = len(mu)

        if (Sigma2.shape[0]>1):

            Sigma2 = np.diag(Sigma2)

        '''多元高斯分布函数'''    

        X = X-mu

        argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)

        p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1))  # axis表示每行

        return p

     

    6、单元和多元高斯分布特点

     

    单元高斯分布

     

    人为可以捕捉到feature之间的关系时可以使用

     

    计算量小

     

    多元高斯分布

     

    自动捕捉到相关的feature

     

    计算量大，因为：

     

    m>n或Σ可逆时可以使用。（若不可逆，可能有冗余的x，因为线性相关，不可逆，或者就是m<n）

     

    7、程序运行结果

     

    显示数据

     

    

     

    等高线

     

    

     

    异常点标注

     

    

     

     

    原文地址

    https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python#