**5元5次齊次方-5次的解**
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提出日期：2021年12月12日.
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已知；
(X^1+Y^1+Z^1+T^1+V^1)=a.
(X^2+Y^2+Z^2+T^2+V^2)=b.
(X^3+Y^3+Z^3+T^3+V^3)=c.
(X^4+Y^4+Z^4+T^4+V^4)=d.
(X^5+Y^5+Z^5+T^5+V^5)=e.
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求：四則運算(+.-.×.÷)表達的解.
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（一）(X^-1+Y^-1+Z^-1+T^-1+V^-1)=？
（二）(X^-2+Y^-2+Z^-2+T^-2+V^-2)=？
（三）(X^-3+Y^-3+Z^-3+T^-3+V^-3)=？
（四）(X^-4+Y^-4+Z^-4+T^-4+V^-4)=？
（五）(X^-5+Y^-5+Z^-5+T^-5+V^-5)=？
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歡迎各位探索：(一)、(二)、(三)、(四)、(五).
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高秋明(廣西)12月11日群聊時指出；
@萬樹軍 还是公式法和递推法两种方法，思路很简单，但计算量大.
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萬樹軍(香港)回覆；
@小高 這是前人留下的一個空白：簡單而有規律的空白.
當遞進到5元5次齊次方的解, 就進入了「等冪和」的探索範圍.
可能：又有很多「等冪和」的新東西會被發現.
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現在, 本博客右邊欄目的「代數遺珠」, 已經寫下103篇文章：裡面有很多十分簡單的東西, 也有不簡單.
http://blog.itpub.net/20489909/cid-187533/list-1/
「不是0的四項黑洞恆等式」
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2773777/
「n數三層5次冪恆等式」
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2776680/
這兩例, 簡潔層次分明, 也容易看懂, 只需中學的知識, 按道理, 前人會留下案例, 但是, 就是找不到, 因此有理由相信：這類恆等式超出了「牛頓恆等式」的預算.
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回到上一篇的：「4元4次齊次方-4次的解」
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題目http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2846188/
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廣西的高秋明12月11日得出了答案；
(香港的萬樹軍使用新關係式作出了梳理)
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(X^1+Y^1+Z^1+T^1)=a.
(X^2+Y^2+Z^2+T^2)=b.
(X^3+Y^3+Z^3+T^3)=c.
(X^4+Y^4+Z^4+T^4)=d.
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(X^-1+Y^-1+Z^-1+T^-1)
=
-C/D。
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(X^-2+Y^-2+Z^-2+T^-2)
=
-2B/D+C^2/D^2。
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(X^-3+Y^-3+Z^-3+T^-3)
=
-3A/D+3BC/D^2-C^3/D^3。
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(X^-4+Y^-4+Z^-4+T^-4)
=
4AC/D^2+2B^2/D^2-4BC^2/D^3+C^4/D^4-4/D。
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其中；
A= -a.
B=(a^2-b)/2.
C=(3ab-a^3-2c)/6.
D=(a^4-6a^2b+8ac+3b^2-6d)/24.
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設：X=1,Y=2,Y=3,T=4；
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得；
(1^1+2^1+3^1+4^1)=a=10.
(1^2+2^2+3^2+4^2)=b=30.
(1^3+2^3+3^3+4^3)=c=100.
(1^4+2^4+3^4+4^4)=d=354.
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由；
a=10.
b=30.
c=100.
d=354.
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代入；
A= -a.
B=(a^2-b)/2.
C=(3ab-a^3-2c)/6.
D=(a^4-6a^2b+8ac+3b^2-6d)/24.
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得出；
A=-10.
B=35.
C=-50.
D=24.
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再將X=1,Y=2,Z=3,T=4、ABCD代入；
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(X^-1+Y^-1+Z^-1+T^-1)=-C/D.
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得：(2 1⁄12)=(2 1⁄12).
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(X^-2+Y^-2+Z^-2+T^-2)= -2B/D+C^2/D^2.
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得：(1 61⁄144)=(1 61⁄144).
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(X^-3+Y^-3+Z^-3+T^-3)= -3A/D+3BC/D^2-C^3/D^3.
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得：(1 307⁄1728)=(1 307⁄1728).
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(X^-4+Y^-4+Z^-4+T^-4)=4AC/D^2+2B^2/D^2-4BC^2/D^3+C^4/D^4-4/D.
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得：(1 1633⁄20736)=(1 1633⁄20736)
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完

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