一元三次方的新捷徑
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一元三次方的版圖, 經過人們幾百年來的耕耘, 已經找到了各種形式的登頂通道, 近數十年依然有興趣的探索者, 已經轉向專注追求簡潔的「新捷徑」, 可惜, 大多數的作品都是沿用前人的通道加入一些個人化的修飾, 並沒有找到新源頭構成的新捷徑, 能夠做到別樹一格的風雲人物, 還是推崇上世紀80年代的「盛金公式」。
希望今篇文章, 能夠成為一元三次方的：新捷徑。
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今次的新捷徑由(1)(2)(3)組成；
※※※
Z^3+aZ^2+c=0............................(1)
(XY)^3+ac(XY)-c^2=0.................(2)
(K^3)^2+c^2(K^3)-(ac/3)^3=0....(3)
※※※
其中；
※※※
(1)式的三個解：X, Y, Z。
(2)式的三個解：XY, XZ, YZ。
(3)式的二個解：(K1)^3, (K2)^3。
a= -(X+Y+Z)。
c= -XYZ。
根據新關係式, (2)式(3)式構成的通道：(XY)= -(K1+K2)。
※※※
(1)式、(2)式、(3)式實數解的判別式∆：a≠0, c>0, c≥ -4a^3/27。
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新捷徑由解一元二次方(3)式開始, 到達一元三次方的(2)式, 再到達目標區的(1)式：Z^3+aZ^2+c=0。
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新關係式的參閱：http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2773947/
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(2)式(3)式構成的通道的參閱：http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2784880/
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特別指出；
（1）解方程(1)式的時候, 無論是使用傳統的轉換法、或者是使用今篇文章的新轉換法, 都是要將3次+2次的方程式轉換成3次+1次的方程式, 使用傳統的轉換法, 過程冗長, 假如使用新轉換法, 就顯得直接和簡單。
（2）新轉換法導出的判別式∆, 可以跨越(1)式、(2)式、(3)式：使用。
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《一》求一元二次方(3)式的(K1)和(K2)
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(3)式：(K^3)^2+c^2(K^3)-(ac/3)^3=0。
※※※
(K1)^3=[-c^2+((c^2)^2+4(ac/3)^3)^0.5]/2。
(K2)^3=[-c^2-((c^2)^2+4(ac/3)^3)^0.5]/2。
※※※
(K1)={[-c^2+(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)。
(K2)={[-c^2-(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)。
※※※
可以直接從(K1)或(K2)看到：當c^4+4a^3c^3/27≥0時, (K1)或(K2)的結果都是實數。
因為考慮到(1)式、(2)式、(3)式a=0或c=0時, 都離開了題意, 所以設定a≠0、c>0或c<0。
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請留意：以下的內容只考慮a≠0、c>0, 不考慮c<0。
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設定了a≠0、c>0, 約簡c^4+4a^3c^3/27≥0, 得：c+4a^3/27≥0。
因此得出(3)式實數解的判別式∆：a≠0, c>0, c≥ -4a^3/27。
根據(1)式、(2)式、(3)式的關聯性質：判別式∆同時適用(1)式、(2)式、(3)式。
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(K1+K2)
=
{[-c^2+(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)
+
{[-c^2-(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)。
※※※
設a=2, c=3。
※※※
將(K1)^3, a=2, c=3, 代入(3)式驗算；
※※※
((-3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^2
+
3^2((-3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)
-
(6/3)^3
=
0。（驗算結果正確）
※※※
將(K2)^3, a=2, c=3, 代入(3)式驗算：
※※※
((-3^2-(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^2
+
3^2((-3^2-(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)
-
(6/3)^3
=
0。（驗算結果正確）
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《二》求一元三次方(2)式的(XY)
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(2)式：(XY)^3+ac(XY)-c^2=0。
※※※
因為(XY)= -(K1+K2), 得；
※※※
(XY)
=
-(K1+K2)
=
{[c^2-(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)
+
{[c^2+(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)。
※※※
代入a=2, c=3, 得；
※※※
(XY)
=
((3^2-(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3)
+
((3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3)。
◆◆◆
將：(XY), a=2, c=3, 代入(2)式驗算；
※※※
(-((-3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3)+((3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3))^3
+
6(-((-3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3)+((3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3))
-
3^2
=
0。（驗算結果正確）
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《三》求一元三次方(1)式的Z
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(1)式：Z^3+aZ^2+c=0。
※※※
因為：c= -XYZ。
※※※
因此得出：Z= -c/(XY)。
※※※
由於(XY)= -(K1+K2), 因此得；
※※※
Z
=
c/(K1+K2)
※※※
再得；
※※※
Z=c/{{[-c^2+(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)+{[-c^2-(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)}。
◆◆◆
將：Z, a=2, c=3, 代入(1)式驗算；
※※※
(3/(((-3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3)-((3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3)))^3
+
2(3/(((-3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3)-((3^2+(3^4+4×2^3×3^3/27)^0.5)/2)^(1/3)))^2
+
3
=
0。（驗算結果正確）
注：驗算過程中的K2作了此調整, 滿足計算器不懂計算負數的3次根。
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為了方便直觀效果, 將今篇文章的內容綜合、簡約表達如下；
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(1)式：Z^3+aZ^2+c=0。
※※※
實數解的判別式∆：a≠0, c>0, c≥ -4a^3/27。
※※※
實數解；
※※※
Z=c/{{[-c^2+(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)+{[-c^2-(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)}。
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(2)式：(XY)^3+ac(XY)-c^2=0。
※※※
實數解的判別式∆：a≠0, c>0, c≥ -4a^3/27。
※※※
實數解；
※※※
(XY)
=
{[c^2-(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)
+
{[c^2+(c^4+4a^3c^3/27)^0.5]/2}^(1/3)。
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(3)式：(K^3)^2+c^2(K^3)-(ac/3)^3=0。
※※※
實數解的判別式∆：a≠0, c>0, c≥ -4a^3/27。
※※※
實數解；
※※※
(K1)^3=[-c^2+((c^2)^2+4(ac/3)^3)^0.5]/2。
(K2)^3=[-c^2-((c^2)^2+4(ac/3)^3)^0.5]/2。
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特別指出：(1)式(2)式的轉換、判別式∆的精簡、以及判別式∆可以跨越三組方程式使用, 可能是歷史上的首次案例。
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完

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