**第二關係式：一元2,3,4次方**
◆◆◆◆◆◆
**《一》首先指出**
◆◆◆
韋達定理(英語：Vieta's formulas )，對一元n次方的根與系數的表達式，不是唯一的，現在找到了第二式，稱為：第二關係式。
◆◆◆
○韋達定理與第二關係式的簡約對照○
◆◆◆
韋達定理的根與系數的b與c；
※※※
b=XY+XZ+XT+……。
※※※
c=XYZ+XZT+……。
◆◆◆
第二關係式的根與系數的b與c；
※※※
b=m(X^e+Y^e+Z^e+T^e+……)(X^f+Y^f+Z^f+T^f+……)+……。
※※※
c=n(X^g+Y^g+Z^g+T^g+……)(X^h+Y^h+Z^h+T^h+……)+……。
※※※
(1)e,f,g,h：是整數。
(2)m,n：是實數。
◆◆◆◆◆◆
**《二》一元2次方的第二關係式**
◆◆◆
一元2次方：X^2+AX+B=0。
※※※
根與系數的「第二關係式」；
A=-(1)。
B=[A^2-(2)]/2。
其中；
(1)=(X+Y)，(2)=(X^2+Y^2)
◆◆◆
得；
X^2+AX+[A^2-(2)]/2=0。
※※※
再得『一元2次方的第二關係式的母體』
※※※
X^2-(X+Y)X+[(X+Y)^2-(X^2+Y^2)]/2=0。
◆◆◆
範例一：X=1, Y=2。
※※※
第1解,X=1；
1^2-3×1+[3^2-(5)]/2=0。
※※※
第2解,Y=2；
2^2-3×2+[3^2-(5)]/2=0。
◆◆◆
範例二：X=1/2, Y=2/3。
※※※
第1解,X=1/2；
(1/2)^2-(1/2+2/3)(1/2)+[(1/2+2/3)^2-((1/2)^2+(2/3)^2)]/2=0。
※※※
第2解,Y=2/3；
(2/3)^2-(1/2+2/3)(2/3)+[(1/2+2/3)^2-((1/2)^2+(2/3)^2)]/2=0。
◆◆◆◆◆◆
**《三》一元3次方的第二關係式**
一元3次方：X^3+AX^2+BX+C=0。
◆◆◆
根與系數的「第二關係式」；
A=-(1)。
B=[A^2-(2)]/2。
C=[A^3-3A(2)-2(3)]/6。
※※※
其中；
(1)=(X+Y+Z)，(2)=(X^2+Y^2+Z^2)，如此類推。
◆◆◆
得；
X^3+AX^2+X[A^2-(2)]/2+[A^3-3A(2)-2(3)]/6=0。
※※※
再得『一元3次方的第二關係式的母體』
※※※
X^3
-
(X+Y+Z)X^2
+
X[(X+Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)]/2
+
[-(X+Y+Z)^3+3(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2)-2(X^3+Y^3+Z^3)]/6
=
0。
◆◆◆
範例一：X=1, Y=2, Z=3。
※※※
第1解,X=1；
1^3
-
6×1^2
+
1×[6^2-(1^2+2^2+3^2)]/2
+
[-6^3+3×6(1^2+2^2+3^2)-2(1^3+2^3+3^3)]/6
=
0。
※※※
第2解,Y=2；
2^3
-
6×2^2
+
2×[6^2-(1^2+2^2+3^2)]/2
+
[-6^3+3×6(1^2+2^2+3^2)-2(1^3+2^3+3^3)]/6
=
0。
※※※
第3解,Z=3；
3^3
-
6×3^2
+
3×(6^2-(1^2+2^2+3^2))/2
+
[-6^3+3×6(1^2+2^2+3^2)-2(1^3+2^3+3^3)]/6
=
0。
◆◆◆
範例二：X=1/2, Y=2/3, Z=3/4。
※※※
第1解,X=1/2；
(1/2)^3
-
(1/2+2/3+3/4)×(1/2)^2
+
(1/2)×[(1/2+2/3+3/4)^2-((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2)]/2
+
[-(1/2+2/3+3/4)^3+3(1/2+2/3+3/4)((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2)-2((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3)]/6
=
0。
※※※
第2解,Y=2/3；
(2/3)^3
-
(1/2+2/3+3/4)×(2/3)^2
+
(2/3)×[(1/2+2/3+3/4)^2
-
[(1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2)]/2
+
[-(1/2+2/3+3/4)^3+3(1/2+2/3+3/4)((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2)-2((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3)]/6
=
0。
※※※
第3解,Z=3/4；
(3/4)^3
-
(1/2+2/3+3/4)×(3/4)^2
+
(3/4)×[(1/2+2/3+3/4)^2-((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2)]/2
+
[-(1/2+2/3+3/4)^3+3(1/2+2/3+3/4)((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2)-2((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3)]/6
◆◆◆◆◆◆
**《四》一元4次方的第二關係式**
一元4次方：X^4+AX^3+BX^+CX+D=0。
◆◆◆
根與系數的「第二關係式」；
A=-(1)。
B=[A^2-(2)]/2。
C=[A^3-3A(2)-2(3)]/6。
D=[A^4-6(2)A^2-8A(3)+3(2)^2-6(4)]/24。
※※※
其中；
(1)=(X+Y+Z+T)，(2)=(X^2+Y^2+Z^2+T^2)，如此類推。
◆◆◆
得；
X^4
-
(X+Y+Z+T)X^3
+
X^2[A^2-(2)]/2
+
X[A^3-3A(2)-2(3)]/6
+
[A^4-6(2)A^2-8A(3)+3(2)^2-6(4)]/24
=
0。
※※※
再得『一元4次方的第二關係式的母體』
※※※
X^4
-
(X+Y+Z+T)X^3
+
X^2[(X+Y+Z+T)^2-(X^2+Y^2+Z^2+T^2)]/2
+
X[-(X+Y+Z+T)^3+3(X+Y+Z+T)(X^2+Y^2+Z^2+T^2)-2(X^3+Y^3+Z^3+T^3)]/6
+
[(X+Y+Z+T)^4-6(X^2+Y^2+Z^2+T^2)(X+Y+Z+T)^2+8(X+Y+Z+T)(X^3+Y^3+Z^3+T^3)+3(X^2+Y^2+Z^2+T^2)^2-6(X^4+Y^4+Z^4+T^4)]/24
=
0。
◆◆◆
範例一：X=1, Y=2, Z=3, T=4。
※※※
第1解,X=1；
1^4
-
10×1^3
+
1^2(10^2-30)/2
+
1×(-10^3+3×10×30-2×100)/6
+
(10^4-6×30×10^2+8×10×100+3×30^2-6×354)/24
=
0。
※※※
第2解,X=2；
2^4
-
10×2^3+2^2(10^2-30)/2
+
2×(-10^3+3×10×30-2×100)/6
+
(10^4-6×30×10^2+8×10×100+3×30^2-6×354)/24
=
0。
※※※
第3解,X=3；
3^4
-
10×3^3+3^2(10^2-30)/2
+
3×(-10^3+3×10×30-2×100)/6
+
(10^4-6×30×10^2+8×10×100+3×30^2-6×354)/24
=
0。
※※※
第4解,X=4；
4^4
-
10×4^3
+
4^2(10^2-30)/2
+
4×(-10^3+3×10×30-2×100)/6
+
(10^4-6×30×10^2+8×10×100+3×30^2-6×354)/24
=
0。
◆◆◆
範例二：X=1/2, Y=2/3, Z=3/4, T=4/5。
※※※
第1解,X=1/2；
X^4
-
(1/2+2/3+3/4+4/5)X^3
+
X^2[(1/2+2/3+3/4+4/5)^2-((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)]/2
+
X[-(1/2+2/3+3/4+4/5)^3+3(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)-2((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)]/6
+
[(1/2+2/3+3/4+4/5)^4-6((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)(1/2+2/3+3/4+4/5)^2+8(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)+3((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)^2-6((1/2)^4+(2/3)^4+(3/4)^4+(4/5)^4)]/24
=
0。
※※※
第1解,X=1/2；
(1/2)^4
-
(1/2+2/3+3/4+4/5)(1/2)^3
+
(1/2)^2[(1/2+2/3+3/4+4/5)^2-((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)]/2
+
(1/2)[-(1/2+2/3+3/4+4/5)^3+3(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)-2((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)]/6
+
[(1/2+2/3+3/4+4/5)^4-6((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)(1/2+2/3+3/4+4/5)^2+8(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)+3((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)^2-6((1/2)^4+(2/3)^4+(3/4)^4+(4/5)^4)]/24
=
0。
※※※
第2解,X=2/3；
(2/3)^4
-
(1/2+2/3+3/4+4/5)(2/3)^3
+
(2/3)^2[(1/2+2/3+3/4+4/5)^2-((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)]/2
+
(2/3)[-(1/2+2/3+3/4+4/5)^3+3(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)-2((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)]/6
+
[(1/2+2/3+3/4+4/5)^4-6((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)(1/2+2/3+3/4+4/5)^2+8(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)+3((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)^2-6((1/2)^4+(2/3)^4+(3/4)^4+(4/5)^4)]/24
=
0。
※※※
第3解,X=3/4；
(3/4)^4
-
(1/2+2/3+3/4+4/5)(3/4)^3
+
(3/4)^2[(1/2+2/3+3/4+4/5)^2-((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)]/2
+
(3/4)[-(1/2+2/3+3/4+4/5)^3+3(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)-2((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)]/6
+
[(1/2+2/3+3/4+4/5)^4-6((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)(1/2+2/3+3/4+4/5)^2+8(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)+3((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)^2-6((1/2)^4+(2/3)^4+(3/4)^4+(4/5)^4)]/24
=
0。
※※※
第4解,X=4/5；
(4/5)^4
-
(1/2+2/3+3/4+4/5)(4/5)^3
+
(4/5)^2[(1/2+2/3+3/4+4/5)^2-((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)]/2
+
(4/5)[-(1/2+2/3+3/4+4/5)^3+3(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)-2((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)]/6
+
[(1/2+2/3+3/4+4/5)^4-6((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)(1/2+2/3+3/4+4/5)^2+8(1/2+2/3+3/4+4/5)((1/2)^3+(2/3)^3+(3/4)^3+(4/5)^3)+3((1/2)^2+(2/3)^2+(3/4)^2+(4/5)^2)^2-6((1/2)^4+(2/3)^4+(3/4)^4+(4/5)^4)]/24
=
0。
◆◆◆◆◆◆
完成：2021年5月13日。

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第二關係式：一元2,3,4次方

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