**齊次4項的恆等式群(B)**
◆◆◆◆◆◆
《四》8次4項的恆等式
※※※
『8次4項的恆等式』
※※※
**240**(X^8+Y^8+Z^8+T^8)
=
**96**(X^3+Y^3+Z^3+T^3)(X^5+Y^5+Z^5+T^5)
+
**80**(X^2+Y^2+Z^2+T^2)(X^6+Y^6+Z^6+T^6)
+
**60**(X^4+Y^4+Z^4+T^4)^2
-
**5**(X^2+Y^2+Z^2+T^2)^4
※※※
成立條件：X+Y+Z+T=0。
※※※
◆範例一：X=1，Y=2，Z=3，T= -6。
得；
240[1^8+2^8+3^8+(-6)^8]
=
96[1^3+2^3+3^3+(-6)^3][1^5+2^5+3^5+(-6)^5]
+
80[1^2+2^2+3^2+(-6)^2][1^6+2^6+3^6+(-6)^6]
+
60[1^4+2^4+3^4+(-6)^4]^2
-
5[1^2+2^2+3^2+(-6)^2]^4
※※※
404,744,160=404,744,160 。
※※※
◆範例二：X= -1，Y=2，Z=3，T= -4。
得；
240[(-1)^8+2^8+3^8+(-4)^8]
=
96[(-1)^3+2^3+3^3+(-4)^3][(-1)^5+2^5+3^5+(-4)^5]
+
80[(-1)^2+2^2+3^2+(-4)^2][(-1)^6+2^6+3^6+(-4)^6]
+
60[(-1)^4+2^4+3^4+(-4)^4)]^2
-
5[(-1)^2+2^2+3^2+(-4)^2]^4
※※※
17,364,960=17,364,960。
※※※
◆◆◆◆◆◆
《五》9次4項的恆等式
※※※
『9次4項的恆等式』
※※※
**42**(X^9+Y^9+Z^9+T^9)
=
**6**(X^2+Y^2+Z^2+T^2)(X^7+Y^7+Z^7+T^7)
+
**14**(X^3+Y^3+Z^3+T^3)(X^6+Y^6+Z^6+T^6)
+
**21**(X^4+Y^4+Z^4+T^4)(X^5+Y^5+Z^5+T^5)
※※※
成立條件：X+Y+Z+T=0。
※※※
◆範例一：X=1，Y=2，Z=3，T= -6。
得；
42[1^9+2^9+3^9+(-6)^9]
=
6[1^2+2^2+3^2+(-6)^2][1^7+2^7+3^7+(-6)^7]
+
14[1^3+2^3+3^3+(-6)^3][1^6+2^6+3^6+(-6)^6]
+
21[1^4+2^4+3^4+(-6)^4][1^5+2^5+3^5+(-6)^5]
※※※
−422,415,000= −422,415,000。
※※※
◆範例二：X= -1，Y=2，Z=3，T= -4。
得；
42[(-1)^9+2^9+3^9+(-4)^9]
=
6[(-1)^2+2^2+3^2+(-4)^2][(-1)^7+2^7+3^7+(-4)^7]
+
14[(-1)^3+2^3+3^3+(-4)^3][(-1)^6+2^6+3^6+(-4)^6]
+
21[(-1)^4+2^4+3^4+(-4)^4][(-1)^5+2^5+3^5+(-4)^5]
※※※
−10,161,900= −10,161,900。
◆◆◆◆◆◆
《六》10次4項的恆等式
※※※
『10次4項的恆等式』
※※※
**4704**(X^10+Y^10+Z^10+T^10)
=
**840**(X^2+Y^2+Z^2+T^2)(X^8+Y^8+Z^8+T^8)
+
**1280**(X^3+Y^3+Z^3+T^3)(X^7+Y^7+Z^7+T^7)
+
**1680**(X^4+Y^4+Z^4+T^4)(X^6+Y^6+Z^6+T^6)
+
**560**[(X^2+Y^2+Z^2+T^2)(X^3+Y^3+Z^3+T^3)]^2
-
**21**(X^2+Y^2+Z^2+T^2)^5
※※※
成立條件：X+Y+Z+T=0。
※※※
◆範例一：X=1，Y=2，Z=3，T= -6。
得；
4704[1^10+2^10+3^10+(-6)^10]
=
840[1^2+2^2+3^2+(-6)^2][1^8+2^8+3^8+(-6)^8]
+
1280[1^3+2^3+3^3+(-6)^3][1^7+2^7+3^7+(-6)^7]
+
1680[1^4+2^4+3^4+(-6)^4][1^6+2^6+3^6+(-6)^6]
+
560{[(1^2+2^2+3^2+(-6)^2][1^3+2^3+3^3+(-6)^3)]}^2
-
21[1^2+2^2+3^2+(-6)^2]^5
※※※
284,715,480,000=284,715,480,000。
※※※
◆範例二：X= -1，Y=2，Z=3，T= -4。
得；
4704[(-1)^10+2^10+3^10+(-4)^10]
=
840[(-1)^2+2^2+3^2+(-4)^2][(-1)^8+2^8+3^8+(-4)^8]
+
1280[(-1)^3+2^3+3^3+(-4)^3][(-1)^7+2^7+3^7+(-4)^7]
+
1680[(-1)^4+2^4+3^4+(-4)^4][(-1)^6+2^6+3^6+(-4)^6]
+
560{[(-1)^2+2^2+3^2+(-4)^2][(-1)^3+2^3+3^3+(-4)^3]}^2
-
21[1^2+2^2+3^2+(-4)^2]^5
※※※
5,215,089,600=5,215,089,600。
◆◆◆◆◆◆
(待續)

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