RIS 辅助 MISO 通信系统：建模与优化问题综述

1. 统一系统模型 (Unified System Model)

本节定义通用的系统架构、信号模型及信道假设。考虑一个由 RIS 辅助的多用户 MISO 下行链路系统。

1.1 节点定义与符号约定

统一符号表：

1.2 信号传输模型

基站向 $K$ 个用户发送叠加信号 $\mathbf{x} = \sum {j=1}^{K} \mathbf{w}j s j$。用户 $k$ 的接收信号 $yk$ 为：

$$ y k = \underbrace{\left( \mathbf{h}{d,k}^H + \mathbf{h} {RU,k}^H \mathbf{\Theta} \mathbf{H}{BR} \right)} {\text{总等效信道 } \mathbf{h}k^H} \sum {j=1}^{K} \mathbf{w}j s j + nk $$

其中：

• $\mathbf{w}_j \in \mathbb{C}^{M \times 1}$: 用户 $j$ 的主动波束赋形向量。
• $s_j \sim \mathcal{CN}(0, 1)$: 发送符号。
• $n_k \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)$: 加性高斯白噪声。

1.3 RIS 反射模型

RIS 的核心是其相移矩阵 $\mathbf{\Theta}$ 和对应的反射系数向量 $\mathbf{v}$：

$$ \mathbf{v} = [e^{j\theta 1}, e^{j\theta2}, \ldots, e^{j\theta_N}]^T $$

关键约束：

1. 恒模约束 (Unit Modulus): $|v_n| = 1, \forall n=1,\ldots,N$。这表示 RIS 仅改变相位，不放大信号（理想无源）。
2. 相位范围: $\theta_n \in [0, 2\pi)$。

1.4 信道衰落模型 (Rician Fading)

考虑到 RIS 通常部署在视距 (LoS) 较好的位置，BS-RIS 信道 $\mathbf{H}_{BR}$ 建模为 Rician 衰落：

$$ \mathbf{H} {BR} = \sqrt{\frac{\kappa}{\kappa+1}} \mathbf{H}{\text{LoS}} + \sqrt{\frac{1}{\kappa+1}} \mathbf{H}_{\text{NLoS}} $$

其中 $\kappa$ 为 Rician K 因子，表征 LoS 分量与 NLoS 分量的功率比。

2. 优化场景 A: 多用户加权和速率最大化 (Multi-User WSR)

2.1 性能指标

在多用户干扰信道中，用户 $k$ 的信干噪比 (SINR) 为：

$$

\gamma k = \frac{|\mathbf{h}k^H \mathbf{w} k|^2}{\sum{j \neq k} |\mathbf{h} k^H \mathbf{w}j|^2 + \sigma^2} $$

其可达速率为 $R k = \log2(1 + \gamma_k)$。

2.2 问题建模 (P-WSR)

目标是联合设计波束赋形矩阵 $\mathbf{W}$ 和 RIS 相位 $\mathbf{v}$ 以最大化加权和速率：

$$

\begin{aligned} \max {\mathbf{W}, \mathbf{v}} \quad & \sum{k=1}^{K} \omega k Rk \\ \text{s.t.} \quad & \sum {k=1}^{K} \|\mathbf{w}k\|^2 \leq P {\max} \quad \text{(BS 功率约束)} \\ & |vn| = 1, \quad \forall n = 1, \ldots, N \quad \text{(RIS 恒模约束)} \end{aligned} $$

2.3 难点分析

• 目标函数复杂: 和速率函数对于 $(\mathbf{W}, \mathbf{v})$ 是非凸的。
• 变量耦合: 信号在信道中经历了 $\mathbf{W}$ 和 $\mathbf{\Theta}$ 的双重作用。
• 求解策略: 通常采用 交替优化 (AO) 或 加权最小均方误差 (WMMSE) 算法。

3. 优化场景 B: 单用户联合波束赋形 (Joint Beamforming)

当 $K=1$ 时，干扰项消失，问题退化为最大化点对点链路的 SNR。

3.1 等效信道与级联信道

利用恒等式 $\mathbf{a}^H \text{diag}(\mathbf{v}) \mathbf{B} = \mathbf{v}^T (\text{diag}(\mathbf{a}^H)\mathbf{B})$，可定义 等效信道 $\mathbf{h}_{eff}$：

$$ \mathbf{h} {eff}(\mathbf{v}) = \mathbf{h}d + \mathbf{H} {BR}^H \text{diag}(\mathbf{v}) \mathbf{h}{RU} = \mathbf{h} d + \mathbf{H}{BR}^H (\mathbf{v} \odot \mathbf{h}_{RU}) $$

3.2 优化问题 (P-SNR)

$$

\begin{aligned} \max {\mathbf{w}, \mathbf{v}} \quad & \log2 \left( 1 + \frac{|\mathbf{h} {eff}(\mathbf{v})^H \mathbf{w}|^2}{\sigma^2} \right) \\ \text{s.t.} \quad & \|\mathbf{w}\|^2 \leq P{max}, \quad |v_n| = 1 \end{aligned} $$

[!NOTE]

对于固定的 $\mathbf{v}$，最优波束赋形 $\mathbf{w}^ $ 是最大比传输 (MRT)：$\mathbf{w}^ = \sqrt{P {max}} \frac{\mathbf{h}{eff}}{\|\mathbf{h}_{eff}\|}$。这允许我们将问题简化为仅针对 $\mathbf{v}$ 的优化。

4. 优化场景 C: RIS 无源波束赋形 (Passive Beamforming Only)

假设直连链路被阻挡 ($\mathbf{h}_d \approx 0$) 且 BS 端波束赋形固定（或单天线），系统退化为仅通过 RIS 最大化接收功率。

4.1 级联信道模型

定义级联信道向量 $\mathbf{h} {cas} = \mathbf{h}{RU}^* \odot \mathbf{h} {BR}$ (其中 $\mathbf{h}{BR}$ 退化为 $N \times 1$ 向量)。目标函数转化为二次型形式：

$$

|\mathbf{h} {RU}^H \mathbf{\Theta} \mathbf{h}{BR}|^2 = |\mathbf{v}^H \mathbf{h} {cas}|^2 = \mathbf{v}^H \mathbf{h}{cas} \mathbf{h}_{cas}^H \mathbf{v} $$

令 $\mathbf{R} = \mathbf{h} {cas} \mathbf{h}{cas}^H$，问题转化为非凸二次约束二次规划 (QCQP)：

4.2 优化问题 (P-QCQP)

$$

\begin{aligned} \max {\mathbf{v}} \quad & \mathbf{v}^H \mathbf{R} \mathbf{v} \\ \text{s.t.} \quad & |vn| = 1, \quad \forall n = 1, \dots, N \end{aligned} $$

4.3 求解方法

• 半正定松弛 (SDR): 将 $\mathbf{v}\mathbf{v}^H$ 提升为矩阵 $\mathbf{V}$，忽略秩为 1 的约束求解，最后通过高斯随机化恢复 $\mathbf{v}$。
• 流形优化 (Manifold Optimization): 直接在复圆流形 (Complex Circle Manifold) 上进行梯度下降。

5. 总结与复杂度分析

所有上述问题均属于 非凸优化问题 (Non-convex Optimization)，主要困难来源于：

1. 恒模约束: $|v_n|=1$ 构成的可行域是环形流形，而非凸集。
2. 变量耦合: 在联合设计中，$\mathbf{w}$ 与 $\mathbf{v}$ 乘积耦合。

[!IMPORTANT]

NP-hard 性质: 一般情况下，寻找全局最优解是 NP-hard 的。实际工程实现通常寻求高质量的次优解（局部最优）。

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