神经网络反向传播的推导

对于神经网络的训练过程而言，其反向传播算法是训练过程的核心，神经网络根据预测值y^$\hat{y}$与实际值y$y$的偏差从后向前来计算损失函数对于各个参数的梯度，从而利用梯度下降的方法来优化训练神经网络的各个参数。

神经网络的计算流程图如下：

从该流程图可以看到，如果我们要计算神经网络的参数W[1],b[1],W[2],b[2]$W^{\left[1\right]},b^{\left[1\right]},W^{\left[2\right]},b^{\left[2\right]}$，首先需要计算∂L∂a[2]$\frac{\partial L}{\partial a^{\left[2\right]}}$和∂a[2]∂z[2]$\frac{\partial a^{\left[2\right]}}{\partial z^{\left[2\right]}}$，然后根据链式法则得到∂L∂z[2]=∂L∂a[2]∂a[2]∂z[2]$\frac{\partial L}{\partial z^{\left[2\right]}}=\frac{\partial L}{\partial a^{\left[2\right]}}\frac{\partial a^{\left[2\right]}}{\partial z^{\left[2\right]}}$。

之后再计算∂z[2]∂W[2]$\frac{\partial z^{\left[2\right]}}{\partial W^{\left[2\right]}}$和∂z[2]∂b[2]$\frac{\partial z^{\left[2\right]}}{\partial b^{\left[2\right]}}$，同样根据链式法则可以得到∂L∂W[2]=∂L∂z[2]∂z[2]∂W[2]$\frac{\partial L}{\partial W^{\left[2\right]}}=\frac{\partial L}{\partial z^{\left[2\right]}}\frac{\partial z^{\left[2\right]}}{\partial W^{\left[2\right]}}$以及得到∂L∂b[2]=∂L∂z[2]∂z[2]∂b[2]$\frac{\partial L}{\partial b^{\left[2\right]}}=\frac{\partial L}{\partial z^{\left[2\right]}}\frac{\partial z^{\left[2\right]}}{\partial b^{\left[2\right]}}$。这样便得到了dW[2]$d{W}^{\left[2\right]}$和db[2]$d{b}^{\left[2\right]}$。

另外对于dW[1]$d{W}^{\left[1\right]}$和db[1]$d{b}^{\left[1\right]}$的计算，需要先计算∂z[1]∂W[1]$\frac{\partial z^{\left[1\right]}}{\partial W^{\left[1\right]}}$，∂a[1]∂z[1]$\frac{\partial a^{\left[1\right]}}{\partial z^{\left[1\right]}}$和∂z[2]∂a[1]$\frac{\partial z^{\left[2\right]}}{\partial a^{\left[1\right]}}$，同样根据链式法则可以得到∂L∂W[1]=∂L∂z[2]∂z[2]∂a[1]∂a[1]∂z[1]∂z[1]∂W[1]$\frac{\partial L}{\partial W^{\left[1\right]}}=\frac{\partial L}{\partial z^{\left[2\right]}}\frac{\partial z^{\left[2\right]}}{\partial a^{\left[1\right]}}\frac{\partial a^{\left[1\right]}}{\partial z^{\left[1\right]}}\frac{\partial z^{\left[1\right]}}{\partial W^{\left[1\right]}}$，以及∂L∂b[1]=∂L∂z[2]∂z[2]∂a[1]∂a[1]∂z[1]∂z[1]∂b[1]$\frac{\partial L}{\partial b^{\left[1\right]}}=\frac{\partial L}{\partial z^{\left[2\right]}}\frac{\partial z^{\left[2\right]}}{\partial a^{\left[1\right]}}\frac{\partial a^{\left[1\right]}}{\partial z^{\left[1\right]}}\frac{\partial z^{\left[1\right]}}{\partial b^{\left[1\right]}}$。这样也得到了dW[1]$d{W}^{\left[1\right]}$和db[1]$d{b}^{\left[1\right]}$。

在使用随机梯度下降(SGD)优化算法以及交叉熵(Cross Entropy)损失函数的时候，我们令a[2]=y^$a^{\left[2\right]}=\hat{y}$，即损失函数：

L(y^,y)=−(ylogy^+(1−y)log(1−y^))$L(\hat{y},y)=-(ylog\hat{y}+(1-y\left)log\right(1-\hat{y}\left)\right)$

使用sigmoid激活函数，即

a[1]=σ(z[1])=11+e−z[1]a[2]=σ(z[2])=11+e−z[2]$a^{\left[1\right]}=\sigma \left(z^{\left[1\right]}\right)=\frac{1}{1+e^{-z^{\left[1\right]}}}{a}^{\left[2\right]}=\sigma \left(z^{\left[2\right]}\right)=\frac{1}{1+e^{-z^{\left[2\right]}}}$

将该激活函数和损失函数代入上面的计算过程，可以得到：

dz[2]=a[2]−ydW[2]=dz[2]a[1]Tdb[2]=dz[2]dz[1]=W[2]Tdz[2]∗σ′(z[1])dW[1]=dz[1]xTdb[1]=dz[1]$d{z}^{\left[2\right]}=a^{\left[2\right]}-yd{W}^{\left[2\right]}=d{z}^{\left[2\right]}{a}^{\left[1\right]T}d{b}^{\left[2\right]}=d{z}^{\left[2\right]}d{z}^{\left[1\right]}=W^{\left[2\right]T}d{z}^{\left[2\right]}\ast {\sigma }^{{}^{\prime }}\left(z^{\left[1\right]}\right)d{W}^{\left[1\right]}=d{z}^{\left[1\right]}{x}^{T}d{b}^{\left[1\right]}=d{z}^{\left[1\right]}$

在进行随机梯度下降的过程中，随机选取样本中的一个错误分类点，根据该点计算当前的dW[1],db[1],dW[2],db[2]$d{W}^{\left[1\right]},d{b}^{\left[1\right]},d{W}^{\left[2\right]},d{b}^{\left[2\right]}$，然后利用以下公式来更新W[1],b[1],W[2],b[2]$W^{\left[1\right]},b^{\left[1\right]},W^{\left[2\right]},b^{\left[2\right]}$：

W[2]:=W[2]−α∗dW[2]b[2]:=b[2]−α∗db[2]W[1]:=W[1]−α∗dW[1]b[1]:=b[1]−α∗db[1]$W^{\left[2\right]}:=W^{\left[2\right]}-\alpha \ast d{W}^{\left[2\right]}{b}^{\left[2\right]}:=b^{\left[2\right]}-\alpha \ast d{b}^{\left[2\right]}{W}^{\left[1\right]}:=W^{\left[1\right]}-\alpha \ast d{W}^{\left[1\right]}{b}^{\left[1\right]}:=b^{\left[1\right]}-\alpha \ast d{b}^{\left[1\right]}$

直到收敛为止。

对于神经网络的训练，还有批量梯度下降(Batch Gradient Descent)和小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent)，带动量的随机梯度下降(Momentum)，RMSProp，Adam等方法，后面再做详解。

To be continue…

原文出处