　　在这一系列专栏中，我们终于证明了阿聪策略的期望收益为0。证明过程充满了曲折：阿聪的赌局可以化归成带移动吸收壁的一维随机游走，利用谱分析法可以证明该游走的期望持续时间有限。根据这一点，以及赌本随时间线性增长的性质，仿照鞅的停时定理的证明过程，终于能证明期望收益为0。

　　然而值得研究的问题还有很多。化归出来的一维随机游走问题，具有很强的可推广性。比如，设移动吸收壁的位置为 $y_t = c(t+b)^\alpha$ ，那么当 $\alpha, b, c$ 满足什么条件时，粒子的期望存活时间 E(T) 有限？与我讨论过的同学们普遍认为， $\alpha < 1/2$ 时 E(T) 有限，而 $\alpha > 1/2$ 时 E(T) 无限。这是因为粒子分布的扩散速度就在 $t^{1/2}$ 这个阶上，而 E(T) 有限与否，取决于粒子的扩散和吸收壁的移动哪个更快。当 $\alpha$ 恰等于 1/2 时，可能存在一个临界值 c_0 ， c < c_0 时 E(T) 有限， c > c_0 时 E(T) 无限，但还没有人能够求出这个临界值。

　　除了这个随机游走问题，赌博必胜策略本身也还值得研究。尽管直觉告诉我们，期望收益为正的赌博策略不可能存在，但我们尚未证明这一点。阿聪等赌徒还怀有侥幸心理，而这一系列专栏恰好为他们指明了设计必胜策略的方向：必须使得赌本 X_t 与 P(T=t) 乘积的阶数大于等于-1，以使 E(X_T) - E(X_t) 的上界不收敛到0。

　　赌徒的长征路尚未走完，不过我决定见好就收了。

　　本文研究的问题，是从@黄海潮与我的私信交流中提炼出来的；后来，我在下面三个问题中与许多知友进行了讨论：

　　感谢@常雅珣、@王希、@七月、@张雨萌、@Jack Diamond、@Mr woe、@萧洋、@Eidosper、@Octolet等知友的帮助！

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10037 赌徒的长征(6)——尾声

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