1025. 除数博弈

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/divisor-game

题目

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
• 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 False。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

提示：

• 1 <= N <= 1000

解题思路

思路：递推

在这里，我们要从题目里面中找出规律。这里先将题目中游戏规则罗列出来：

• 给定数字 N，任取一数 x（0 < x < N），且 N % x == 0；
• 当选定后，用 N - x 替代原本的 N。

在这里，根据上面的游戏规则，我们先罗列 N （1 <= N <= 1000） 不同取值情况下，会出现怎样的结果：

• 当 N = 1，因为抽取数字 x 必须大于 0 且小于 N，这里无满足条件的数字，判定爱丽丝输；
• 当 N = 2，这里爱丽丝只能取 1，那么 N 随之会变为 1，根据上面的分析，此时鲍勃无法操作，判定鲍勃输，爱丽丝赢；
• 当 N = 3，此时爱丽丝只能选取 1，N 随之变为 2，这里根据 N = 2 的分析，此时鲍勃取 1，爱丽丝输；
• 当 N = 4，爱丽丝可取 1 或 2。若取 1 时，根据 N = 3 的分析，这里鲍勃只能取 1，爱丽丝随后再取 1，鲍勃无法操作，为输。爱丽丝赢;
• 当 N = 5，爱丽丝同样只能取 1，那么根据 N = 4 的分析，爱丽丝最终会输；
• …

在这里，可以发现，当 N 为奇数时，爱丽丝先选择的情况下会输；而 N 为偶数时，爱丽丝先手会赢。尝试用 数学归纳法 证明这个结论是否可行：

• 当 N = 1 和 N = 2 时，可直接判断，结论成立。
• 当 N > 2 时，分情况进行讨论（题目已经说明两个玩家都以最佳状态参与游戏），假设 N <= m 结论成立，那么当 N=m+1 时，情况如下：
  • 当 m 为偶数时，m+1 为奇数，x 的取值必须是 N(也就是 m+1) 的约数，那么 x 只能取奇数，那么新的 N=N-x（也就是 m+1-x）为偶数，此时 m+1-x <= m，前面假设 N <= m 时，偶数的情况下，先手的玩家会赢。那么在这里，无论爱丽丝先手取值拿走什么数字，剩下的都是偶数，此时轮到鲍勃选择，那么鲍勃一定能赢，而爱丽丝会输；
  • 当 m 为奇数时，m+1 为偶数，此时 x 的取值可以是偶数也可以是奇数。如果此时爱丽丝先手选择奇数，那么剩下的也一定奇数，而且 m+1-x <= m，此时轮到鲍勃选择，根据前面的分析，N <= m 时，奇数情况下，先手玩家一定输，所以无论此时鲍勃如何选择什么都会输，那么爱丽丝赢。

那么，前面假设的结论成立，所以只要判断给定的 N 值是奇数还是偶数，则可以判定玩家输赢。

代码非常简洁，因为本题是博弈题，主要还是从题目中总结出规律。

代码实现

class Solution:
    def divisorGame(self, N: int) -> bool:
        return N % 2 == 0

实现结果