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　　上个月，知乎上有一个有意思的问题，引起了火热的讨论。下面是它的简化版：

我有一个缸，一开始是空的。在 t = 1 秒时，我往缸里放 10 个球（编号 1~10），再把 1 号球拿出来；在 t = 2 秒时，我把 11~20 号球放到缸里，再把 2 号球拿出来；在 t = 3 秒时，我把 21~30 号球放到缸里，再把 3 号球拿出来；依此类推。问：到最后，缸里有几个球？

当然你可能马上反驳：「最后」是不可能达到的，问题没有意义。但把题目稍加修改，「最后」就可以达到了：

我有一个缸，一开始是空的。在 t = 0.5 秒时，我往缸里放 10 个球（编号 1~10），再把 1 号球拿出来；在 t = 0.75 秒时，我把 11~20 号球放到缸里，再把 2 号球拿出来；在 t = 0.875 秒时，我把 21~30 号球放到缸里，再把 3 号球拿出来；依此类推。问：在 t = 1 秒时，缸里有几个球？

　　直觉告诉我们：既然每次操作后缸里都会增加 9 个球，所以最后缸里会有无数个球。但有人却说：最后缸是空的！你信吗？

　　「最后缸是空的」这个结论，可以这样推理出来：考虑 n 号球，它将在第 n 步被拿出来，所以最后它不在缸里。上面这句话对于任意的 n 都成立，所以最后缸是空的。

　　原来，这道题目描述的放球、取球的过程，是一个超级任务。超级任务指的是步骤无限多，却要在有限时间内完成的任务。涉及超级任务完成时的状态的问题，很容易产生悖论。上面的问题，就是有名的 Ross-Littlewood 悖论。

　　我们仔细分析一下两种解法为什么会给出截然相反的结果。用 $I_k(n) \in \{0,1\}$ 表示 k 步操作之后，n 号球是否在缸里。容易知道，k 步操作之后缸里的球数是 $\sum_{n=1}^\infty I_k(n) = 9k$ 。第一种解法就是对操作步数取极限，得到「最后」缸里的球数为 $\lim_{k \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^\infty I_k(n) = \infty$ 。而第二种解法，则是分别考虑每个球，用 $\lim_{k \rightarrow \infty} I_k(n)$ 表示「最后」n 号球是否在缸里，这个极限对于任意的 n 都是 0；然后再求和，得到最后缸里的球数为 $\sum_{n=1}^\infty \lim_{k \rightarrow \infty} I_k(n) = 0$ 。

　　我们发现，矛盾产生的关键原因在于 $\lim_{k \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^\infty I_k(n) \ne \sum_{n=1}^\infty \lim_{k \rightarrow \infty} I_k(n)$ ，即「极限」与「无穷级数求和」两个操作不能随便交换次序。要想交换次序， I_k(n) 逐点收敛于 0 是不行的，必须要一致收敛。「一致收敛」这个词，恐怕会让很多人想起学习微积分时经历的噩梦，但要弄清楚本文的悖论，是绕不开这个概念的。我们来比较一下逐点收敛和一致收敛的定义：

逐点收敛，说的是 $\forall\, n, \, \lim_{k \rightarrow \infty} I_k(n) = 0$ 。把极限用 $\varepsilon\text{-}\delta$ 语言展开，就是这样： $\forall \, n, \forall \, \varepsilon > 0, \exists \, K, \forall \, k > K, |I_k(n)| < \varepsilon$ 。由于非 0 即 1，所以这句话可以化简为： $\forall \, n, \exists \, K, \forall \, k > K, I_k(n) = 0$ 。
而一致收敛，说的是 $\exists \, K, \forall \, n, \forall \, k > K, I_k(n) = 0$ 。它与逐点收敛的不同，仅在于 $\forall \, n$ 和 $\exists \, K$ 的顺序不一样。

$\forall \, n$ 和 $\exists \, K$ 的顺序是很重要的：若 $\forall \, n$ 在前，那么 K 就可以依赖于 n；若 $\exists \, K$ 在前，那么这个 K 就必须适用于所有的 n。用自然语言来说，逐点收敛说的是每个球都早晚被拿出来，但一致收敛要求这个「早晚」对于每个球来说都是同一个时刻。在本题中，在每个球被拿出来时，总有编号更大的球还在缸里，这种「按下葫芦起来瓢」的情况，正是满足逐点收敛而不满足一致收敛的情况。

　　弄清了两种解法的矛盾之处，一个自然的问题就是：两种解法到底哪个对呢？据我观察，支持解法二的人有许多理由反对解法一，而支持解法一的人却难以反驳。解法二的支持者常用下面的理由反对解法一：解法一认为「缸中球的数目」在 $t \rightarrow 1^-$ 时的极限就是 t = 1 时缸中球的数目，或者说「缸中球的数目」在 t = 1 处左连续，而这个连续性是题目不能保证的。同时，他们会用这样的理由支持解法二：要求「最后缸中球的数目」，就要先定义出「最后缸中球」这个集合，而这个集合可以定义成「k 步操作后缸中球的集合」在 $k \rightarrow \infty$ 时的极限。按照集合列的极限的定义，这个极限是空集。

　　这个理由涉及到了「集合列的极限」这个定义，看起来很高大上。这个定义到底是怎么回事呢？它有许多种等价表述，我在这里选一种比较好理解的表述。用 S 表示「最后缸中球」这个集合，则：

若 $\lim_{k \rightarrow \infty} I_k(n) = 1$ ，即在某步操作后 n 号球一直在缸里，则 $n \in S$ ；
若 $\lim_{k \rightarrow \infty} I_k(n) = 0$ ，即在某步操作后 n 号球一直不在缸里，则 $n \notin S$ ；
若对于有些 n， $\lim_{k \rightarrow \infty} I_k(n)$ 不存在，即 n 号球一直一会儿在缸里，一会儿不在缸里，则 S 也不存在。

　　按此定义，S 确实为空集。但这个定义说到底，是把每个球独立考虑的，它定义出来的极限，只是集合逐点收敛的极限。我觉得，用这种「集合列的极限」来定义 t = 1 时缸中球的集合，并没有充分的理由。比如，我可以模仿数列极限的 $\varepsilon\text{-}\delta$ 定义，设计这样一种「集合列的极限」的定义：

称一列集合 $S_1, S_2, \ldots$ 收敛于，当且仅当 $\forall \, \varepsilon > 0, \exists \, N, \forall \, n > N, d(S_n, S) < \varepsilon$ 。

这里涉及「集合的距离」的概念。由于在本文的问题中，球与球之间是没有定义距离的，所以比较合理的「球的集合的距离」就是 $d(A,B) = |(A \setminus B) \, \cup \, (B \setminus A)|$ ，即只属于一个集合的元素的个数。这样定义出的距离都是非负整数，若要能小于任意正实数 $\varepsilon$ ，则距离只能是 0。于是我对「集合列的极限」的定义就变成了：

称一列集合 $S_1, S_2, \ldots$ 收敛于，当且仅当 $\exists \, N, \forall \, n > N, S_n = S$ 。

可以发现，这种定义跟「 I_k(n) 一致收敛」是一回事，在 I_k(n) 不一致收敛时，极限集是不存在的。

　　总结一下我对于 Ross-Littlewood 悖论的观点，就是：解法一和解法二都不充分，「最后缸中球数」不是良定义的。

　　说了这么多，跟标题里的「共产主义」有什么关系呢？

　　我发现，对于「共产主义一定会实现」的论证，与 Ross-Littlewood 悖论有相似之处。共产主义社会的一个特征是不再存在私有制，而要消灭私有制，就需要生产力高度发达，以至于社会上不存在让人产生占有欲望的「稀缺品」。许多人不相信共产主义，就是卡在了这一步：他们无法相信有些东西会在生产力高度发达的将来不再稀缺。这个答案举了一个很有启发性的例子，以引导人跳出思维定势：曾经稀缺的「邮箱账号」，如今已经唾手可得，不会再有人囤积居奇。与此类似地，该答案的作者还论述了「艺术品」乃至「性伴侣」这些事物也都会有一天不再稀缺，尽管在现代看来这是不可思议的。但是这样就足以证明私有制终将不复存在吗？

　　我们用数学语言表述一下上面的论证。用 $I_k(n) \in \{0,1\}$ 表示在生产力水平为 k 时，n 号物品是否稀缺（1 表示稀缺，0 表示充足）。上面的论证，事实上说的是「对于任何物品，总存在一个生产力水平，当生产力超过这个水平时，该物品不再稀缺」。然而，这只能说明 I_k(n) 是逐点收敛到 0 的，而不能证明它一致收敛到 0，即不能证明「当生产力超过一定水平时，任何物品都不稀缺」。形象的理解就是，「稀缺品」可能呈现出「按下葫芦起来瓢」的局面，当生产力的发展使得一种物品不再稀缺时，会同时创造出其它的稀缺品，让人产生占有欲望。

　　上面答案的作者对这样的反驳似乎有所准备。不过，这篇文章的主题还是数学，关于共产主义，我就只讨论到这里了。

ITPub博客

10597 超级任务、一致收敛与共产主义

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