我曾经说过，电子系的本科课程，可以串成一条宏伟的线索，它们从单个电子的运动规律出发，教你一层又一层地搭建出五彩缤纷的硬件、软件与网络世界。当我在大四悟到这一点的时候，是心潮澎湃的。但是，在这条线索上，却有一个关键的环节我一直没搞懂，这是我本科时代的一个遗憾。

　　这关键的一环，就是「数字电路」课程中的「D 触发器」。「D 触发器」是计算机系统中存储器的基本组成单元。它有「时钟」和「数据」两个输入，功能是这样的：

　　1. 当时钟的上升沿到来时^[1]，根据外界输入的数据，改变自身的内部状态；
　　2. 在其它时候，保持自身的内部状态不变。

　　「D 触发器」有多种实现方式。有一种实现方式使用了 8 个与非门，下面这篇文章言简意赅地介绍了它的设计思路，十分值得一读：

三郎：计算机数学小书2-D触发器的进化之路​zhuanlan.zhihu.com

但还有一种更加「节省」的实现方式，只用了 6 个与非门，这就是我长久以来没有搞懂的东西。它的电路图长这样：

是不是一看就有一种要晕的感觉呢？我的数字电路课本上，在这个电路图的旁边，用了大约 20 行文字，追踪了信号在电路中传递的过程。如果你静下心来读的话，不一定读不懂，但往往会淹没在细节之中，无法宏观地掌握上述电路的工作原理与设计思路。

　　上周在刷知乎的时候，我又见到了「D 触发器」这个东西。这让我又想起了本科时代的遗憾，并让我下决心真正弄懂图 1 中的电路。很幸运的是，这次我成功了！这篇文章，就来带你直观地弄懂下面三个问题：

　　1. 图 1 中的电路，是怎么实现「D 触发器」的功能的？
　　2. 图 1 中的电路，是怎么设计出来的？
　　3. 能不能用更少的与非门实现「D 触发器」？

　　咦？超级玛丽在哪里？别着急，马上就来！

一、直观理解 D 触发器的工作原理

　　图 1 中的电路之所以看起来乱，是因为「与非门」画起来很笨重：它的所有输入端都必须画在一边，而输出端画在另一边。于是，各个与非门之间的连线，就只好各种拐弯、交叉了。而下面的图 2，用超级玛丽代替与非门，就解开了这一团乱麻：

　　图中每个红色的超级玛丽（Mario）代表一个与非门，绿色（Luigi）和黄色（Wario）的代表输入数据和时钟。如果从一个玛丽到另一个玛丽之间有箭头，则代表前者是后者的一个输入。读者不妨检验一下，图 1 和图 2 的连接关系是一模一样的。由此也比较容易看出各个玛丽的功能：1、4 号玛丽负责接收输入数据，2、3 号玛丽直接受时钟控制，5、6 号玛丽负责记忆及输出。

　　玛丽的姿势代表高低电平，但是注意：蹲着的玛丽代表 1，站着的玛丽代表 0。这种设定有点儿绕，不过它可以让与非门的逻辑很符合直觉：如果箭头起点处的玛丽站起来了（输入为 0），则箭头终点处的玛丽必须蹲下（输出为 1），可以看成是前者「压制」住了后者；如果一个玛丽不被任何其他玛丽「压制」，那他就会自动站起来。不难看出，1、2 号，3、4 号，5、6 号玛丽形成了三对「冤家」，每一对中的两个玛丽不可能同时站着。其中，5、6 号这一对「冤家」比较好理解，它们不是你压制我，就是我压制你，可以形成两种稳态，代表两种记忆。至于 1、2 号，3、4 号两对「冤家」有什么用，下文中会见分晓。

　　现在可以讲解 D 触发器的工作原理了。我们从时钟为 0 的状态开始。此时黄色的玛丽站着，把 2、3 号玛丽都压了下去，使得它们无法对 1、4、5、6 号玛丽施加影响。于是，输入侧的 1、4 号玛丽就与输出侧的 5、6 号玛丽隔绝了，不管输入数据如何变化，5、6 号玛丽都不受影响，保持着之前的状态。而在输入侧，1 号玛丽会与绿色玛丽保持相同的状态，4 号玛丽则相反（如图 3）。

　　当时钟上升沿来临时，黄色的玛丽就蹲下去了，2、3 号玛丽终于有机会伸伸懒腰了。但它们还受 1、4 号玛丽控制。如果绿色的玛丽站着（输入为 0），则 4 号玛丽会受压制，而 1 号玛丽站起来。此时 2 号玛丽会被 1 号玛丽压制，而 3 号玛丽会因无人压制而站起来。3 号玛丽进一步压制住 6 号玛丽，从而让 5 号玛丽站起来（如图 4）。反之，如果绿色的玛丽蹲着（输入为 1），那么 4 号玛丽就会站着，并把 1、3 号玛丽压制住，2 号玛丽则会没有人压制而站起来。站起来的 2 号玛丽会把 5 号玛丽压制住，于是 6 号玛丽会站起来（如图 5）。总而言之，奇数号玛丽会与绿色的玛丽采取同样的姿势，偶数号的玛丽则相反。这就达到了把输入数据保存到 5 号玛丽的目的。

　　数据存到 5 号玛丽以后，时钟仍会保持为 1 一段时间。这段时间内输入数据仍可能发生变化，但输出侧不应受其影响。但是黄色的玛丽在这段时间内是蹲着的，失去了黄色玛丽压制的 2、3 号玛丽，如何把输入侧与输出侧隔绝呢？这就要靠 1、2 号以及 3、4 号两对「冤家」了！原来，2 号或 3 号玛丽在时钟上升沿的瞬间站起来后，会立即反过来对 1 号或 4 号玛丽形成压制。如果 3 号玛丽站着，它就会以一己之力压制住 4 号玛丽，让它不再听从绿色玛丽的命令（如图 6）。如果 2 号玛丽站着，它就会把 1、3 号玛丽都压制住。此时，虽然 4 号玛丽还能听从绿色玛丽的命令，但它只能自己玩，无法对其它玛丽造成影响（如图 7）。于是，在时钟保持为 1 的期间，5、6 号玛丽也可以维持记忆。

　　时钟下降沿来临时，黄色玛丽站起来，把 2、3 号玛丽都压下去，开始一个新的周期。

二、D 触发器的设计思路

　　看懂了 D 触发器精妙的工作原理，下一个问题自然就是：这个电路是怎么设计出来的呢？具体来说，为什么各个玛丽要像图 2 那样布局，它们之间的线要那么连呢？在这一节，我们就从右往左设计 D 触发器的电路。

　　先看最右边 5、6 号两个玛丽。它们其实组成了一个「SR 锁存器」：

　　● 当两个输入一个为 0 一个为 1 时写入数据，写入后两个玛丽的状态与输入相反；
　　● 当两个输入均为 1（即 2、3 号玛丽都蹲下）时，保持状态；
　　● 当两个输入均为 0（即 2、3 号玛丽都站起）时，两个输出均为 1（即 5、6 号玛丽都蹲下）。

其中第三种情况是没有用的，在 D 触发器里也不会出现。

　　锁存器存储的内容可以随时由外界输入修改。我们下面要做的事情，就是用时钟把 SR 锁存器的输入端「保护」起来，由时钟来控制什么时候写入，什么时候保持。于是就有了 2、3 号玛丽。

　　当时钟为 0（黄色玛丽站着）时，2、3 号玛丽均被压制，所以 5、6 号玛丽可以保持状态。当时钟上升沿来临（黄色玛丽蹲下）时，2、3 号玛丽就变成了非门的作用，把输入取反后送给 5、6 号玛丽。于是就知道，2 号玛丽的输入应当就是要存入的数据，而 3 号玛丽的输入应当与之相反。于是就有了 4 号玛丽：

　　到了现在，还缺的功能就是在时钟为 1（黄色玛丽蹲着，不起作用）时，保护好刚刚存入的数据，不让它受输入影响了。上图中的电路做不到这一点：当黄色玛丽蹲着时，绿色玛丽可以长驱直入地控制所有红色玛丽。为了保护 5、6 号玛丽的状态，就需要 2、3 号玛丽结成一对「冤家」（即组成 SR 锁存器），并向输入侧提供反馈，让输入不至于翻转 2、3 号玛丽的状态。这时我们发现，表示输入数据的绿色玛丽是不可以直接连到 2 号玛丽上的，因为绿色玛丽不受控制，它只要一站起来，就可以轻而易举地让本该站着的 2 号玛丽蹲下。于是就只好再增设一个 1 号玛丽，作为绿色玛丽的傀儡。只要让 4 号玛丽控制 1 号玛丽，1 号玛丽就可以与绿色玛丽亦步亦趋了。

　　下一步就是要设计 2、3 号玛丽对 1、4 号玛丽的反馈。不妨把四个箭头全部连上，这样 不管是 2 号玛丽还是 3 号玛丽站着，就都可以把 1、4 号玛丽压制得服服帖帖，不再受绿色玛丽影响：

但其实没必要费这么大力气。不难看出，2 号玛丽怕的就是自己站着时，1 号玛丽站起来把自己压下去；同样，3 号玛丽怕的就是自己站着时，4 号玛丽站起来把自己压下去。于是只要 2、3 号玛丽分别控制 1、4 号玛丽就行了（又形成两对「冤家」），中间两个交叉的箭头可以去掉：

　　最后检查一下电路，发现从 3 号玛丽到 2 号玛丽的连线可以去掉。这是因为，3 号玛丽站着时，1 号玛丽必然也站着，它可以代替 3 号玛丽压制 2 号玛丽。但反过来，2 号玛丽到 3 号玛丽的连线不能去掉，因为 4 号玛丽不能代替 2 号玛丽压制 3 号玛丽 —— 4 号玛丽本身还受绿色玛丽控制呢。

三、能不能用少于六个与非门搭出 D 触发器？

　　还剩最后一个问题：能不能使用少于 6 个与非门搭出 D 触发器呢？

　　在上面的设计过程中我们发现，5、6 号玛丽作为记忆的载体，是必不可少的；2、3 号玛丽要保护 5、6 号玛丽的输入，也是必不可少的。那么 1、4 号玛丽能不能去掉呢？首先，它们不能都去掉，因为输入数据不可以直接连到 2、3 号玛丽上。那么去掉一个行不行呢？注意到 1 号玛丽是角色是输入数据的傀儡，而在时钟为 1（黄色玛丽蹲下）时，3 号玛丽的状态也是始终跟 1 号玛丽一致的。既然这样，何不让 3 号玛丽直接作为输入数据的傀儡，去掉 1 号玛丽呢！（当然，要恢复 3 号玛丽对 2 号玛丽的控制）

　　很不幸，这个电路是有问题的。问题出在时钟上升沿的瞬间：如果输入数据为 0（绿色玛丽站着），那么 4 号玛丽蹲着，当黄色玛丽蹲下时，2、3 号玛丽都不受压制，会争相站起来，不能保证站起来的一定是 3 号玛丽。此时就显示出 1 号玛丽的必要性了：3 号玛丽只能在时钟上升沿之后担任绿色玛丽的傀儡，但在时钟上升沿的瞬间，还是需要 1 号玛丽把输入数据传递给 2 号玛丽的。

　　由此，我们就说明了六个红色玛丽（与非门）都是必要的。当然，这并不算严格的证明。不过，由五个以内与非门组成的电路种类是很有限的，可以用计算机来枚举。有兴趣的读者不妨自行编程验证，只使用五个以内与非门无法搭建出 D 触发器。

参考

1. ^本文中的「D 触发器」，特指边沿触发型（仅在时钟上升沿接收数据），不包括电平触发型（在时钟为高电平时一直接收数据）。