　　在这个金秋十月，我又一次跟一道数学题杠上了。

　　这是一道关于赌徒必胜策略的问题。它的表述很简单，但解起来却比想象困难得多。我前后一共花了5天时间，走了各种直路和弯路，才终于曲径通幽处；在这条长征路上，我学到了鞅的停时定理等之前从未接触过的数学知识。

　　这一系列专栏，就来讲述一下我的探索过程。很抱歉这并不能算是一系列科普专栏，要读懂其中的全部内容，需要本科水平的数学知识——毕竟，其中有些部分都已经超越了我原有的知识范围了。

　　我们知道，掷硬币猜正反这种赌博方式，在硬币均匀的情况下，每局的期望收益为0。照这样计算，不管玩多久，不管每局下多少赌注，总的期望收益也是0。但总有些“聪明”的赌徒，提出一些“必胜策略”，声称按照这样的策略来下注，最终的期望收益大于0。比如，赌徒阿笨采用的这种策略是比较有名的：

阿笨策略：初始时赌注为1块钱，以后每输一局，就把赌注翻倍，直到赢了为止。最后一局赢的钱数，等于之前输掉的所有钱数的总和再加1，所以最后总能赚1块钱。

　　这个必胜策略当然是有bug的，因为它忽略了赌本有限这一重要事实。设阿笨最初有1000块钱。只要他在前10局赌博中赢1局，他就能如愿以偿地赚1块钱；但假如他十分不走运，连输10局，那么他将输掉 $1+2+4+\ldots+2^9 = 1023$ 块钱。这样的“灾难”发生的概率是 $1/2^{10} = 1/1024$ ，所以阿笨的期望收益为： $1 \times \frac{1023}{1024} + (-1023) \times \frac{1}{1024} = 0$ 。阿笨的策略，确实能把输的概率降到很低，但随之而来的代价是，每次赢只能赢一点，而一旦输，就会输得惨不忍睹。

　　赌徒阿聪觉得，阿笨每次赌注翻倍的玩法太冒险了。于是他提出了一种新的策略：

阿聪策略：初始时赌注为1块钱。以后每输一局，赌注就增加1块钱；每赢一局，赌注就减少1块钱。这样赌下去，直到赌注减少到0，或者赌本输光为止。

　　举个例子：设阿聪开始时有2块钱。第一局输了，赌本剩下1块钱，赌注变成2；第二局赢了，赌本变成3，赌注变成1；第三局又输了，赌本剩下2，赌注变成2；第四局再赢回来，赌本变成4，赌注变成1；第五局再赢一次，赌本变成5，赌注变成0，游戏结束。这样，阿聪一共赚了3块钱。

　　阿聪策略的奥妙，在于连续一输一赢的时候，第二局赢的钱会比第一局输的钱多1块，这样赌注不变，而赌本增加了1块钱。同样地，不管输掉了多少局，只要不输光，就总有可能全赢回来，而在这个过程中，赌注不变，赌本增加，并且前面输的次数越多，最终赌本增加得也越多。而“一输一赢”的这种循环，只要初始赌本大于1就能无限次进行，所以阿聪自信满满地只带了2块钱入场。

　　直觉告诉我们，阿聪的如意算盘也是不太可能成立的，因为他也忽略了输光的可能。而全面考虑之后，期望收益应当还是0：既然每局的期望收益是0，那么任意有限局之后，总期望收益自然也是0嘛。这个证明思路对于阿笨策略是有效的，因为阿笨策略必然在有限时间内结束——只要一赢，游戏就结束了；而如果一直不赢，就会在有限局内输光。但对于阿聪策略，这个思路就不完整了，因为“一输一赢”的循环可能无限进行下去。阿聪怀有一种侥幸心理：这个“无限”，能不能打破“期望收益为0”的魔咒呢？

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10035 赌徒的长征(1)——序言

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