　　写完了上、下两篇后，我又想到了一个有趣的数学问题，于是就再写下这篇「续」。

　　在下篇的第一、二节，我把滤波器的相位响应分成了「群延时」和「净相移」两部分。如果一个滤波器的相位响应为 $\Delta\phi(\omega)$ ，则它的群延时为

$\tau_g(\omega) = -\frac{\text{d}\Delta\phi(\omega)}{\text{d}\omega} \\$

净相移为

$\begin{align} \Delta\phi_\text{net}(\omega) &= \Delta\phi(\omega) - [-\omega \cdot \tau_g(\omega)] \\ &= \Delta\phi(\omega) - \omega \cdot \frac{\text{d}\Delta\phi(\omega)}{\text{d}\omega} \\ \end{align} \\$

现在问题来了：给定了想要的净相移 $\Delta\phi_\text{net}(\omega)$ ，如何求「毛相移」 $\Delta\phi(\omega)$ ？

　　我们简化一下符号，把毛相移记作 $f(\omega)$ ，净相移记作 $g(\omega)$ ，于是它们之间的关系就是 $g(\omega) = f(\omega) - \omega \cdot f'(\omega)$ 。这是一个微分方程，已知 $g(\omega)$ ，求 $f(\omega)$ 。怎么解呢？

　　像所有的参考答案一样，我要使用一次「神来之笔」：方程右边很像两个函数之商的导数公式。原来， $\left[ \frac{f(\omega)}{\omega} \right]' = \frac{\omega \cdot f'(\omega) - f(\omega)}{\omega^2}$ 。这样，微分方程就可以化成：

$\left[ \frac{f(\omega)}{\omega} \right]' = -\frac{g(\omega)}{\omega^2} \\$

两边积分，就得到了解：

$f(\omega) = -\omega \cdot \int \frac{g(\omega)}{\omega^2} \,\text{d}\omega \\$

注意，右边的不定积分算出来之后，别忘了加积分常数！

　　下面来看两个例子。

【例 1】想让净相移呈线性变化，当归一化角频率从 0 变化至 $\pi$ 时，净相移从 0 变化至 $-2\pi$ ，即 $g(\omega) = -2\omega$ 。求毛相移 $f(\omega)$ 和群延时。

解：毛相移

$\begin{align} f(\omega) &= -\omega \cdot \int \frac{-2\omega}{\omega^2} \,\text{d}\omega \\ &= -\omega \cdot (-2 \ln \omega + C) \\ &= 2\omega\ln\omega - C\omega \end{align} \\$

群延时

$\tau_g(\omega) = -f'(\omega) = -2(\ln\omega + 1) + C \\$

不妨取 C = 0 ，此时毛相移、群延时、净相移的图象如下。这个群延时是为了得到想要的净相移所必须付出的代价。调整可以让群延时曲线整体上移或下移，相当于把信号整体提前或推迟，实际上没有什么用。群延时在极低频处会比较大，不过好在极低频的声音是听不见的，所以没有关系。

【例 2】想让净相移分段为常数：

$g(\omega) = \begin{cases} -\pi/4, & 0 \le \omega < \pi/4 \\ \pi/4, & \pi/4 \le \omega < \pi/2 \\ \pi/2, & \pi/2 \le \omega < 3\pi/4 \\ \pi, & 3\pi/4 \le \omega \le \pi \end{cases} \\$

求毛相移 $f(\omega)$ 和群延时。

解：在任一区间上，若 $g(\omega)$ 为常数，则 $f(\omega) = -\omega \cdot \int \frac{b}{\omega^2} \,\text{d}\omega = b - C\omega$ 。也就是说，这是一条截距为的直线上的一段。

　　本题的 $g(\omega)$ 把横轴 $0 \le \omega \le \pi$ 平分成了四个区间，我们从左到右一个一个看：

第一段的 $b = -\pi/4$ 。不妨取，于是在这一段上 $f(\omega) = -\pi/4$ ，其右端点为 $(\pi/4, -\pi/4)$ 。
第二段的 $b = \pi/4$ 。又由于这一段上的 $f(\omega)$ 必须过 $(\pi/4, -\pi/4)$ 才能保证 $f(\omega)$ 在整体上是连续的，可以解出这一段上的， $f(\omega) = \pi/4 - 2\omega$ 。这一段的右端点为 $(\pi/2, -3\pi/4)$ 。
第三段的 $b = \pi/2$ 。考虑到 $f(\omega)$ 必须过 $(\pi/2, -3\pi/4)$ ，可以解得这一段上 $f(\omega) = \pi/2 - 5\omega/2$ ，其右端点为 $(3\pi/4, -11\pi/8)$ 。
第四段的 $b = \pi$ 。考虑到 $f(\omega)$ 必须过 $(3\pi/4, -11\pi/8)$ ，可以解得这一段上 $f(\omega) = \pi - 19\omega/6$ 。

由此可得毛相移和群延时：

$f(\omega) = \begin{cases} -\pi/4, & 0 \le \omega < \pi/4 \\ \pi/4 - 2\omega, & \pi/4 \le \omega < \pi/2 \\ \pi/2 - 5\omega/2, & \pi/2 \le \omega < 3\pi/4 \\ \pi - 19\omega/6, & 3\pi/4 \le \omega \le \pi \end{cases} \quad \quad \quad \tau_g(\omega) = \begin{cases} 0, & 0 \le \omega < \pi/4 \\ 2, & \pi/4 \le \omega < \pi/2 \\ 5/2, & \pi/2 \le \omega < 3\pi/4 \\ 19/6, & 3\pi/4 \le \omega \le \pi \end{cases} \\$

　　但是，眼看着群延时一段比一段大，不太爽。事实上，在第四段上，可以认为 $g(\omega) = -\pi$ ，因为反正 $-\pi$ 的相移跟 $\pi$ 的相移是一回事。这样，就可以重新计算最后一段的毛相移和群延时：

$f(\omega) = \begin{cases} -\pi/4, & 0 \le \omega < \pi/4 \\ \pi/4 - 2\omega, & \pi/4 \le \omega < \pi/2 \\ \pi/2 - 5\omega/2, & \pi/2 \le \omega < 3\pi/4 \\ -\pi - \omega/2, & 3\pi/4 \le \omega \le \pi \end{cases} \quad \quad \quad \tau_g(\omega) = \begin{cases} 0, & 0 \le \omega < \pi/4 \\ 2, & \pi/4 \le \omega < \pi/2 \\ 5/2, & \pi/2 \le \omega < 3\pi/4 \\ 1/2, & 3\pi/4 \le \omega \le \pi \end{cases} \\$

群延时横跨的范围由 [0, 19/6] 缩小至 [0, 5/2] 。在想要的净相移为分段函数时，通过在各段上增减 $2\pi$ ，有可能起到缩小群延时范围的作用，这算是面对命运的一点儿抗争。

　　有了根据净相移计算毛相移的方法，我们就可以随心所欲地修改信号了！比如，我们用最后得到的毛相移处理「电灯比油灯进步多了」这段声音，代码如下：

[x, fs] = audioread('diandeng.wav');          % 读入声音
X = fft(x);                                   % 求频谱

% 按刚刚计算出的公式构造毛相移向量
omega = linspace(0, pi, length(X) / 2 + 1)';  % 自变量：归一化角频率，从0到pi
f = zeros(size(omega));                       % 因变量：毛相移
f(omega > 0 & omega < pi/4) = -pi/4;          % 注意归一化角频率等于0或pi处最好不要乱动
f(omega >= pi/4 & omega < pi/2) = pi/4 - 2 * omega(omega >= pi/4 & omega < pi/2);
f(omega >= pi/2 & omega < 3*pi/4) = pi/2 - 5/2 * omega(omega >= pi/2 & omega < 3*pi/4);
f(omega >= 3*pi/4 & omega < pi) = -pi - 1/2 * omega(omega >= 3*pi/4 & omega < pi);

H = exp(1i * f);                              % 把毛相移转化成滤波器的传输函数
H = [H; conj(H(end-1:-1:2))];                 % 补齐共轭对称的另一半

Y = X .* H;                                   % 改造声音的频谱！
y = real(ifft(Y));                            % 逆变换得到相移后的声音
soundsc(y, fs);                               % 播放！

　　实验结果如下。因为群延时最大只有 2.5 个采样点，所以在语谱图上几乎看不出来，当然听就更听不出来啦。

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10877 「人耳对相位不敏感」到底是什么意思（续）

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