既然无法用简单的几句话证明阿聪策略的期望收益为0，那么我们就来算一算，这个策略的期望收益到底是多少。计算这种问题常用递推法。为了说明递推法的原理，我们拿胆小的赌徒小白作为例子：

小白策略：初始赌本为1块钱；赌注也是1块钱，且始终不变。如果赢到5块钱，那就见好就收；如果输光了，那也没办法了。

　　在任一时刻，小白手里的钱数只能是0、1、2、3、4、5这几个数字之一，那么我们就把这个钱数作为状态。用表示从赌本为块钱的状态出发，到游戏结束时赌本的期望。显然，，因为等于0或5时游戏就已经结束了，就是最后的赌本。而对于，由于下一局有一半的可能性赢（赌本变成），有一半的可能性输（赌本变成），所以有递推式：

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根据这个递推式和边界条件，，容易算出，也就是说，无论初始赌本是多少，赌到最后，期望都是不赔不赚的。

　　上面设了一个函数，表示最终赌本的期望，而才是期望收益。其实完全可以直接设，递推式仍然是

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而边界条件变成了。容易解得，这也说明期望收益为0。

　　这种递推法，还可以用来求从赌本为块钱的状态出发，最终输光的概率。递推式仍然不变：

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边界条件是，。容易解得，所以从手中有1块钱的状态出发，会有4/5的概率输光。

　　同样的递推法还可以用来求从赌本为块钱的状态出发，到游戏结束为止，要赌的局数的期望。这次的递推式变成了：

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式中的1表示先赌一局，后两项表示的是这一局之后，期望还要赌多少局。边界条件为，可以解得，。这说明，从赌本为1块钱的状态出发，平均要赌4局才能结束。

　　现在我们来研究阿聪的策略。与小白策略不同的是，赌局在将来的发展情况，不仅取决于当前赌本，还取决于当前赌注，二者合在一起才构成状态。用表示从赌本为、赌注为的状态出发，到游戏结束为止的期望收益，则我们想求的是。显然，或代表游戏已经结束，这些时候的。对于其它状态，可以写出如下的递推式：

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显然是一个满足递推式的解。但它是唯一解吗？我们还是要递推一下来看看。

　　取，可以确定。上图中的红线，连接了递推式涉及到的三个状态。

　　但不幸的是，从现在开始，无法再取得一对，使得递推式中有两项已知、一项未知了。为了能够递推下去，必须设未知数。好吧，那就设我们要求的。由此出发，可以依次求得、、、、，每一步的依据，依次用红、橙、绿、蓝、紫线标了出来。

　　到这里又卡住了，只能继续设未知数。设，由此可以求得和（红线、橙线）。此时，再利用时的递推式（绿线），就能把用表示出来（）：

　　用类似的方法，一直可以填到这么多：

但接下来又卡住了，因为橙线不能用了，蓝线也用不了：

　　至此，我们不仅没能解出这个未知数，反而又引入了一个新的未知数。事实上，所有形如（为整数）的项都会引入新的未知数，未知数会越来越多。

　　阿聪的策略毕竟比较复杂，赌本、赌注都在变化。但其实，有一些比阿聪策略更简单的策略，用递推法一样会遇到困难。比如赌徒大白的策略：

大白策略：初始赌本为1块钱；赌注也是1块钱，且始终不变。如果出现三连胜，那就见好就收；如果输光了，那也没办法了。

　　与小白策略不同，大白一定要赌到三连胜，这使得赌局可能无限进行下去：赢、赢、输，赢、赢、输，赢、赢、输，一直不出现三连胜，但赌本却每三局涨1块钱。下面我们会看到，在这种存在“无限”的情况下，递推法又一次会失效。

　　大白策略中，赌注始终为1，所以不必包含在状态里。但是，状态需要记录到目前为止已经取得了几连胜。用表示从赌本为、已经取得连胜的状态出发，到游戏结束为止的期望收益，则我们要求。递推式为：

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边界条件为。递推过程如下，关系线使用的顺序为红、绿、蓝，红、绿、蓝……：

这样递推下去，虽然不会引入新的未知数，但本身是解不出来的。

　　大白策略的递推法其实只差一个条件，就能解出未知数。@Jack Diamond找到了这个条件。他发现，如果大白拿着2块钱入场，其实可以看作先拿1块钱入场，如果三连胜则结束，如果输光了，则再拿剩下的1块钱入场。这样，初始赌本为2时的期望收益，就可以分成两部分：一部分是初始赌本为1时的期望收益；另一部分还是初始赌本为1时的期望收益，不过只在第1块钱输光的情况下才取得。用表示初始赌本为1时输光的概率，则上面的结论可以写成：

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而之前，我们设了，并已经用递推法求得，故有

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因为，上式若把约掉，则不可能成立，所以必有。

　　事实上，本身也能够求出来。用递推法，可以得到2块钱入场输光的概率为：

而还有一个条件可以发掘出来：2块钱入场输光只有一种可能，即第1块钱输光，第2块钱也输光，故有。由此可解得。

　　通过发掘隐藏条件，我们用递推法证明了大白策略的期望收益为0。不过阿聪策略到底还是比大白策略复杂得多，未知数都有无穷多个，要找到无穷多个隐藏条件，谈何容易！必须另辟蹊径。