　　昨天看到了一个“张大伯买米”的物理问题，很有意思。简述一下，是这样：张大伯去买一斤米，米店老板用一个如题图（作者：@渣渣）所示的、类似饮水机的装置往秤盘上倒米，当秤盘示数恰为一斤时关掉阀门。张大伯觉得自己亏了，因为在倒米的过程中秤盘会受到一个额外的、向下的力。而实际上他并没有亏，因为这个额外的力恰好等于空中尚未落到秤盘上的米的重力。

　　在原来的问题中，米一旦落到秤盘上就不动了。@白如冰写了一篇文章，探讨了米落到秤盘上还会再弹起来的情况，得到的结论也是一样的：在稳态下，空中的米对秤盘的冲击力等于空中的米的重力。在评论（第3页）中，@AllanCruse对秤盘示数的变化过程感到了好奇。这篇文章，就来分析一下在倒米的整个过程中，秤盘的示数是怎么变化的。

一、米不会弹跳的情况

　　设单位时间内流出的米的质量（简称流量）为 $\lambda$ 。注意，在空中的米柱的各个位置，米粒的密度不同，但流量都是相同的。再设米从阀门落到秤盘上所需时间为，则米落到秤盘上时速度大小为 v=gt 。用表示米柱对秤盘冲击力的大小，它也等于秤盘对米柱的支持力的大小。

　　考察一小段时间 $\Delta t$ 内落在秤盘上的米，其质量为 $\lambda \Delta t$ ，速度从减小至。由动量定理，有 $F \Delta t = \lambda \Delta t \cdot v$ ，于是 $F = \lambda v$ 。这个力并不是一直存在的——在第一粒米落到秤盘上（时刻）之前，秤盘的示数一直都是0。在时刻，秤盘的示数突变至 $F = \lambda v$ 。而此时空中已经有了质量为 $\lambda t$ 的米，它们所受的重力恰好等于。换句话说，在时刻，秤盘的示数是“准确”的。

　　在时刻之后，秤盘所受的冲击力大小不变，同时盘上开始积累米。到阀门关闭之前，秤盘的示数一直都是准确的。阀门关闭（设此时为时刻）后，秤盘所受冲击力大小暂时保持不变，同时盘上还在继续积累米，所以秤盘示数继续匀速增加。在阀门关闭后时刻，空中的米都落到了秤盘上，冲击力消失，秤盘示数瞬间减小，最终显示米的总重量（等于 $g \lambda T$ ）。

　　上述过程用图象表示，是这样：

二、米会弹跳的情况

　　设米从下落到第一次弹跳所需时间为 t_1 ，从第一次弹跳到第二次弹跳所需时间为 2t_2 （因为米要先上升再下降，所以带上系数2），以此类推。由此可求出米在第次弹跳前的速度大小 v_k = gt_k ，弹跳后的速度大小 $v_{k+1} = gt_{k+1}$ 。设正在进行第次弹跳的米给秤盘的冲击力为 F_k ，由动量定理， $F_k = \lambda (v_k + v_{k+1}) = g \lambda (t_k + t_{k+1})$ 。也就是说，正在进行第次弹跳的米给秤盘的冲击力，等于正在俯冲准备进行第次弹跳的米和刚刚完成第次弹跳正在上升的米的总重力。

　　在 t_1 时刻，第一粒米落在秤盘上，冲击力 F_1 出现，秤盘示数从突变至 F_1 并保持稳定。到 t_1 + 2t_2 时刻，冲击力 F_2 出现，秤盘示数突变至 F_1 + F_2 并再次保持稳定。在第一粒米停止弹跳之前，秤盘示数一直是呈现阶梯式跳变的。在正常情况下，无论经过有限次还是无限次弹跳，米总会在有限的时间内结束弹跳，开始积累，系统从此进入稳态，秤盘示数等于已经流出的米的总重量。时刻阀门关闭后，秤盘示数仍会保持匀速增加。到 T+t_1 时刻，最后一粒米完成第一次弹跳，冲击力 F_1 消失，秤盘示数瞬间减小 F_1 后，继续匀速增加。到 T+t_1+2t_2 时刻，冲击力 F_2 消失，秤盘示数瞬间减小 F_2 后，依然匀速增加。这个过程一直持续到最后一粒米不再弹跳，秤盘示数不再匀速增加，而是保持稳定。

　　用 $T_k = t_1 + 2 \sum_{i=2}^k t_i$ 表示第次弹跳发生的时刻， $T_\infty$ 表示第一粒米结束弹跳，开始积累的时刻。上述过程用图象表示，是这样：

三、米弹跳“嗨”了的情况

　　在正常情况下，第一粒米停止弹跳时，已经流出的米的总重量是小于一斤的（即 $T_\infty < T$ ）。此后秤盘示数匀速增加（“稳态”），这才能让米店老板有机会在示数正好是一斤时关闭阀门。如果米的弹性特别好，在流出的米的总重量已经达到一斤时还未停止弹跳（ $T_\infty > T$ ），那么秤盘示数还处在跳变阶段，米店老板就无法掌握关闭阀门的时机了。不过，我们可以假设老板依然在正确的时机（时刻）关上了阀门，并研究一下在这种情况下秤盘的示数会如何变化。

　　可以想象，阀门关闭后，第一粒米还在不停地给秤盘带来新的冲击力，但同时最后一粒米已经在撤走旧的冲击力了。从至 $T_\infty$ 这段时间，秤盘示数会忽增忽减，但都是跳变；从 $T_\infty$ 至 $T_\infty + T$ 这一段时间，秤盘示数会匀速增加，并伴有跳变式的减小。

　　按照冲击力依次产生、消失的顺序分析至 $T_\infty$ 这段时间内秤盘示数的变化，会很麻烦。我们换一个角度来思考：

冲击力的大小为 $g \lambda (t_k + t_{k+1})$ ，它在时刻出现，在时刻消失。于是它可以用一个矩形窗函数表示： $F_k(t) = g \lambda (t_k + t_{k+1}) \cdot [u(t - T_k) - u(t - T - T_k)]$ 。
在秤盘上积累的米对秤盘的压力，在 $T_\infty$ 时刻出现并匀速增加，到 $T_\infty + T$ 时刻达到最大值 $g \lambda T$ 并不再变化。这可以用一个分段线性函数表示： $F(t) = \left\{ \begin{array}{ll}0, & t < T_\infty \\g \lambda (t - T_\infty), & T_\infty \le t < T_\infty + T \\g \lambda T, & t \ge T_\infty + T\end{array} \right.$
秤盘示数等于上面所有这些力的总和。