　　上篇讲到，在维空间里的 d-1 维超球面上随机、均匀地选取个点，它们位于同一个半超球面的概率等于一个分数，其分母等于 2^d ，而分子是个过超球心的 d-1 维超平面把超球面切成的块数。我们仅考虑这个超平面处于一般位置的情况，因为特殊位置（比如它们在超球面上交于同一点）的概率都是 0。

　　把这个块数记为 f_d(n) 。我们已经数出来了：

　　● 在二维情况下，条直径会把圆周切成 f_2(n) = 2n 块；
　　● 在三维情况下，3 个大圆面会把球面切成 f_3(3) = 8 块；

但是，在数 f_3(4) 的时候遇到了困难，因为图形已经难以观察了。在更高维的情况下，想靠手工的「数」就更不可能了，必须要想办法「算」。

　　这回我们从一维开始。一维空间，就是一条直线；其中的「0 维超球面」，就是与「超球心」等距的两个点。而用来分割这两个点的「0 维超平面」，就是「超球心」这个点本身。可以看到，不管怎么切，「0 维超球面」永远是分成两块儿的，所以有

$f_1(n) = 2, \quad \forall n \ge 1 \\$

　　现在来到二维。二维空间中，一条直径可以把圆周切成两块，所以 f_2(1) = 2 。之后每加一条直径，都会把已经切出的某两块进一步一分为二，所以会多出两份来，即：

$f_2(n) = f_2(n-1) + 2 \\$

加的这个 2 其实有讲究，只是我们暂时还看不出来。

图 4.2：二维空间中，添加一条直径（粗线），会把圆周上原有的两块（黄色）一分为二

　　现在进入三维。如下图 4.3，三维空间中，一个大圆面（红圈所在平面）可以把球面切成两块，所以 f_3(1) = 2 。再增加一个大圆面（绿圈所在平面）时，会发生什么呢？新增的大圆面本身确定了一个二维空间。球面与这个二维空间的交集，就是绿圈这个圆周；之前已有的一个大圆面（红圈所在平面）与这个二维空间的交集，是一条直径（虚线）。绿圈被这条直径切成了 f_2(1) = 2 段，而其中的每一段，又把球面上的一块给一分为二了。所以，引入第二个大圆面时，会让球面被切成的块数增加 f_2(1) ，即：

$f_3(2) = f_3(1) + f_2(1) = 4 \\$

　　两个大圆面把球面切成了 4 块。那再加入第三个大圆面时呢？如下图 4.4，新增的大圆面（蓝圈所在平面）与已有的两个大圆面交于两条直径，这两条直径把蓝圈切成了 f_2(2) = 4 段，其中每一段都会把球面上的 4 块进一步一分为二。所以有：

$f_3(3) = f_3(2) + f_2(2) = 8 \\$

　　终于可以计算 f_3(4) 了。第四个大圆面的圆周（黄圈），被三条直径切成了 f_2(3) = 6 段，它们会把球面上的 6 块进一步一分为二，即：

$f_3(4) = f_3(3) + f_2(3) = 14 \\$

　　上面的递推过程，也可以推广到高维。一般地，在维空间中加入第个超平面时，超球面与这个超平面的交集，会被之前的 n-1 个超平面切成 $f_{d-1}(n-1)$ 块，其中的每一块，会把超球面上的某一块进一步一分为二。所以有：

$f_d(n) = f_d(n-1) + f_{d-1}(n-1) \\$

　　我们可以回头看一下二维情况。二维里的递推式为 f_2(n) = f_2(n-1) + 2 ，其中的 2，其实是 f_1(n-1) 。怎么理解呢？二维空间里新增的一条直径，本身确定了一个一维空间，这个一维空间里的「超球面」（即两个点）被原有的 n-1 条直径分割成了 f_1(n-1) = 2 个点，每个点会导致二维空间中的圆周被多切出一块来。

　　根据 f_d(n) 的递推式，我们可以很容易地推出一些项来：

比如，在 4 维空间中，6 个超平面可以把超球面切成 f_4(6) = 52 块，所以超球面上 6 个点位于同一个半超球面的概率为 f_4(6) / 2^6 = 52/64 = 0.8125 。

　　现在我们有了 f_d(n) 的递推式，剩下的就是求通项了！求通项的方法有很多，比如多项式拟合、z 变换等，但我发现最容易的方法，就是直接观察上面的递推表。

　　就以 f_4(6) = 52 这一项为例。它等于左边一列中 22 与 30 的和。而 22 与 30，又分别是再左边一列中 8 与 14、14 与 16 的和，其中 14 被算了两遍。再往左推一列，就是 2、6、8、8 的和，它们分别被算了 1、3、3、1 遍 —— 有没有看出，1、3、3、1 就是 (x+1)^3 的展开式系数，也是杨辉三角中的一行呢？