　　现在仅剩的问题，就是证明阿聪策略的期望停止时间有限了。

　　递推法似乎行不通。事实上，用赌本和赌注 (m,n) 作为状态时，在状态图上下一步能走的方向向量 (+n, -1) 和 (-n,+1) 还跟当前状态有关。能不能先把这种复杂性消灭——找一种状态表示法，使得每一步能走的方向向量跟当前状态无关呢？

　　答案是能。还是注意到“一输一赢”会使得赌本加1，赌注不变；同样，“一赢一输”也使得赌本加1，赌注不变。这表明，只要中途游戏没有结束，输和赢的顺序是可以交换的；最终的赌本和赌注仅取决于输和赢的次数，而不取决于输和赢的顺序。假设到某个时刻为止，阿聪输了次，赢了次，那么总可以交换输赢的顺序，把次输放在前面，次赢放在后面（就算中间输光了，也让他继续赌下去）。次输的赌注分别是 $1,2,\ldots,l$ ；次赢的赌注分别是 $l+1, l, \ldots, l-w+2$ 。此时阿聪的赌本和赌注就可以用和表示出来：

★
★ $m = 2 - \sum_{i=1}^l i + \sum_{j=l-w+2}^{l+1} j = \frac{4 + (l+w) - (l-w)(l-w+2)}{2}$

这就表明， (l,w) 也可以用来表示状态。每赌一局，要么加1，要么加1，但总之和的变化量与当前状态无关了。游戏结束的条件是 n = 0 或 $m \le 0$ ，这两个条件也都可以用和表示出来，前者是一条直线，后者是一条抛物线。画出图来，就一目了然了：

图中，两条黄线代表了游戏结束的条件；红色格子表示赌注减小到0，蓝色格子表示输光。阿聪从左下角的格子出发，每次只能向右或向上走一格，碰到黄线游戏就结束了。游戏能够进行的区域（绿色格子）是越来越宽的。

　　现在，状态表示足够简单了，但停止条件还比较复杂。能不能继续化简呢？能。上面的图中，黄色的直线 l-w+1=0 恰好是抛物线的对称轴，如果我们把坐标系旋转45度，抛物线的方程就能化简。把 l-w+1 再反过来代换成，同时令 t=l+w ，用 (n,t) 表示状态，则状态的转移方式变成了每赌一局，每加1，可加1或减1；终止条件则化成 n = 0 或 $n \ge \sqrt{t+5}$ ，简单多了。事实上，把看作时间，把赌注用 Y_t 来表示，则 Y_t 就化成了如下的、带移动吸收壁的一维随机游走过程：

带移动吸收壁的一维随机游走：设粒子初始位置为，每步的位移 $Y_{t+1} - Y_t$ 等可能地取 $\pm 1$ 。在处有固定吸收壁， $y_t = \sqrt{t+5}$ 处有移动吸收壁，粒子碰到吸收壁则死亡。问粒子存活时间的期望是否有限？

　　阿聪的策略转化到这里，就有了一种柳暗花明又一村的感觉——问题成功脱离了赌博的背景，变成了一道比较一般的一维随机游走问题。事实上，有许多文献研究过类似的问题，比如：

[1] [2] 研究了有两个移动吸收壁 $y = \pm \,c \sqrt{t+a}$ 的情况，吸收壁的移动速度是减慢的；
[3] 研究了有两个移动吸收壁 $y = \pm\, (ct+L)$ 的情况，吸收壁的移动速度是常数；
以上文献研究的都是离散的一维随机游走，而 [4] 研究了连续的一维扩散在单侧有吸收壁 $y = \sqrt{At}$ （另一侧自由）和双侧有吸收壁 $y = \pm \sqrt{At}$ 时的情形。这两种情形分别被形象地称为“后退的悬崖”和“会长大的笼子”。

　　阿聪策略转化成的问题，就是一个“会长大的笼子”。但很不幸的是，上述文献研究都并不是我们感兴趣的情景，因为我们的笼子左侧是不会长大的。要解决我们的问题，还得自力更生。

参考文献

[1] David Blackwell and David Freedman, “A remark on the coin tossing game”, The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 35, No. 3 (Sep., 1964), pp. 1345-1347.

[2] L. A. Shepp, “A first passage problem for the Wiener process”, The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 38, No. 6 (Dec., 1967), pp. 1912-1914.

[3] Alan J Bray and Richard Smith, “The survival probability of a diffusing particle constrained by two moving, absorbing boundaries”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 40.10 (2007): F235.

[4] P. L. Krapivsky and S. Redner, “Life and death in an expanding cage and at the edge of a receding cliff”, American Journal of Physics 64.5 (1996): 546-551.

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10036 赌徒的长征(4)——会长大的笼子

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