　　上周遇到了一道「小黄鸭」概率题：

　　乍一看，有圆形、有概率，而且每个人做出来的答案都不一样，我就怀疑跟「伯特兰悖论」（又译「贝特朗奇论」）有关。不过仔细一想，这题其实并没有毛病，值得一做。

　　注意到在此题中，小黄鸭到圆心的距离是无关紧要的，重要的只是它们在圆心的哪个方向。为了简化问题，可以让小黄鸭们都沿着远离圆心的方向游到岸边，如下图所示。这样的操作，可以把「二维圆形内的均匀分布」，化简成「一维圆周上的均匀分布」，维度降低了，问题就会变简单。为了下文叙述更方便，我们再让小黄鸭们右转 90 度，岸在左边，圆心在右边。

　　如果小黄鸭们最初是在同一个半圆里，那么游到岸边之后，它们就会位于同一个半圆弧上，并且会有一个「排头」。在选定了「排头」之后，其它的小黄鸭就必须位于它后方的半圆周（黄色）上，而不能位于它前方的半圆周（黑色）上。对于除了「排头」的每一只小黄鸭来说，这个概率是 1/2 ；3 只小黄鸭都位于「排头」后方的概率就是 (1/2)^3 = 1/8 。而 4 只小黄鸭中，任一只都有可能充当排头，所以题目的答案就是 $1/8 \times 4 = 1/2$ 。

　　根据上面的思路，我们也可以很容易地对小黄鸭的数量进行推广：只小黄鸭位于同一个半圆内的概率等于 $n/2^{n-1}$ 。

　　喏，题目就做完啦！不过，接下来的日子里，我又把这道题想了好几天。为什么呢？因为只在二维里思考这个问题不过瘾呀！我们不妨想一下三维情况：4 只小黄鸭随机、均匀地出现在一个球面上，它们位于同一个半球面的概率是多少呢？问题的三维版本无法直接套用二维的解法，因为在球面上就没有「排头」的概念了。

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11588 一道「小黄鸭」概率题及其有趣扩展 (1)

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