一、认识平衡二叉树

前几天，我们将搜索二叉树（也称为二叉排序树）讲解了，重点讲了搜索二叉树的插入和删除操作，由特别是删除操作，是比较难的知识点。现在我们将继续在搜索二叉树的基础之上，学习一颗新的数，那就是大名鼎鼎的平衡二叉树（AVL树）。在学习平衡二叉树前，同学们需掌握了搜索二叉树的基本操作之后，再来看平衡二叉树的知识，就会简单一点哦！！！

前期文章：二叉树的概念以及搜索二叉树。

本期文章：GitHub源码链接。

我们前面讲了搜索二叉树的定义：一个节点的左子节点的关键字值小于这个节点，右子节点的关键字值大于或等于这个父节点。简单点说就是左边的小，右边的大。现在我们试着将这个数组插入到搜索二叉树，看看是什么样子？

int[] array = {1,2,3,4,5,6,7,8}; //升序

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当我们试着去插入后，会发现，这颗搜索二叉树有一点怪怪，如图：

根据上面的图，我们可以看出，当我们去对一个本身已经有序的数组，去插入到搜索二叉树中，结果却跟“链表”长得更相似。也就是说，假设我们需要查找8，这颗搜索二叉树的时间复杂度就跟链表一样，是O(N)了。所以怎么办？？？就出现了今天的主题：平衡二叉树。

要想使时间复杂度降下来，我们就得调整这棵树的“样子”，使之查找元素的时间复杂度，跟这棵树的深度直接挂钩，直接变为O(logN)。所以我们得从添加元素的时候着手。平衡二叉树代码的整体框架，跟搜索二叉树差不多，如下：

class TreeNode {

public int val;

public int height; //新加的成员变量：节点高度

public TreeNode left;

public TreeNode right;

public TreeNode(int val) {

this.val = val;

this.height = 1; //新节点的初始高度为1

}

public class AVL{

private TreeNode root; //根结点

public void add(int val) { //插入新的节点

}

public void remove(int val) { //删除对应的节点

}

public boolean contains(int val) { //查询是否有该值

}

二、插入操作

首先，平衡二叉树与搜索二叉树的差别在于：平衡二叉树，它自己可以自动调节整棵树的平衡，也叫自平衡机制。所以在平衡二叉树里，有一个概念叫做平衡因子，意思就是：对于每一个子树而言，它的左子树的高度减去右子树的高度，差值的绝对值不能超过1；换句话说就是：两边高度相减的范围必须在[-1,1]，这个区间呢，才能称为平衡。这也是我们为什么在TreeNode类里面加入了height这个变量的原因。

插入操作，我们只需掌握4种不同情况导致的不平衡。分别是 LL型、RR型、LR型和RL型。

LL型

就如上面这幅图所示，当我们插入5节点后，计算平衡因子，我们就会发现，在12结点处的平衡因子超过了1，所以我们需要对12这个节点进行调整。正是因为2节点的插入，从而导致了12节点的不平衡，而5节点在12节点的左子树（8节点）的左子树（5节点）。所以这种情况就叫LL型。我们稍微将上面的图再“装饰”一下，将它们各自的子节点都显示出来，如下图：（注：T1~T4，在实际的情况中可能没有，此时是为了让大家更好理解如何去进行旋转操作，才加上的）

LL型动图

对于LL型，我们需要进行右旋转操作，同学们根据动图，自行在纸上画一下是如何进行连接的，就能更好的理解其中的关系。代码图如下：

最后，我们还要再说一下，旋转之后，只有两个节点的高度是需要更改的，就是root和tmp这两个节点的高度，等于它左右子树的高度，再加上自己本身的高度值1，就是旋转之后，这个节点的新高度了。切记：必须先计算root的高度之后，才能计算tmp的高度，因为root是tmp的右子树，tmp的高度是依赖于root的高度值。

RR型

讲完了LL型，RR型，也就简单了许多，RR型和LL型是差不多的。只是二者互为镜像而已。我们就直接看动图吧！

RR型动图

计算高度的节点还是root和tmp这两个节点，还是先计算root的高度，再计算tmp的高度。代码图如下：

LR型

讲完了LL型和RR型，接来了的LR和RL型，就非常简单，因为LR和RL，根本不需要重新再写新的方法，我们只需要旋转两次，就是LR或者RL的操作，多的不说，我们以图为切入点，展开来讲；

上图就是LR型的情况，当我们尝试着上面的LL型和RR型，发现是解决不了问题的。我们只有想办法让LR型转化成LL型，问题就迎刃而解了。问题在于怎么转化？来，我们看下图：

我们可以发现，我们只需将8节点先向左旋转一下，就能得到LL型的状态。得到LL型后，问题就回到了LL型上，那我们再整体向右旋转一次，就能达到平衡的效果。我们以动图来演示一下：

LR型动图

RL型

相应的RL型，跟LR型也是差不多，就是镜像而已。LR是先左旋转再右旋转，而RL是先有旋转再左旋转。我们还是以图来展开说明吧！

旋转过程如下：

整体的代码演示，我先以图片的形式，将框架分出来，看着更为直观一点，更容易理解一点。

public void add(int val) {

root = add(root, val);

}

private TreeNode add(TreeNode node, int val) {

if (node == null) {

return new TreeNode(val);

}

if (val < node.val) {

node.left = add(node.left, val);

} else { //大于等于的情况，还是需要新建节点

node.right = add(node.right, val);

}

//计算当前节点的高度

node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1; //取左右两边的最大值，再加1

//计算平衡因子

int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {

//LL型，做右旋转处理

if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {

return R_Rotate(node); //直接将新的根结点返回即可

}

//RR型，做左旋转处理

if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {

return L_Rotate(node); //新的根节点，直接返回

}

//LR型，先对左子树进行左旋转，然后再对根节点进行右旋转

if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {

node.left = L_Rotate(node.left); //先进行左旋转，变成LL型

return R_Rotate(node); //再进行右旋转

}

//RL型，先对右子树进行右旋转，然后再对根节点进行左旋转

node.right = R_Rotate(node.right);

return L_Rotate(node);

}

return node;

}

//计算平衡因子

private int getBalanceFactor(TreeNode node) {

if (node == null) {

return 0;

}

return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);

}

//计算节点的高度

private int getHeight(TreeNode node) {

if (node == null) {

return 0;

}

return node.height;

}

这样的话，平衡二叉树的插入操作，我们就讲完了。接下来，我们来看看删除操作。

三、删除操作

删除和插入是一样的，我们只是在搜索二叉树的删除操作上，做一些改动，就能实现平衡二叉树的删除操作。

分析：整棵树原本是已经平衡了，是因为我们需要删除一个节点，从而导致整棵树产生不平衡。所以们只需要从删除的节点处，向上一直遍历，一直向上回溯，然后计算回溯到的节点，重新计算高度，重新计算平衡因子即可。操作完全就是add方法的一样，直接拷下来即可。下图是搜索二叉树的删除操作：

平衡二叉树的删除，简直就是一模一样。我们可以发现，在上面图中删除之后，就是直接返回了node节点，。

而平衡二叉树删除，就是不要先返回node节点，先对node节点进行计算height，并且计算平衡因子，如果平衡因子超过1了，就调整即可。如果平衡因子没超过1，此时返回node节点就行。

平衡二叉树删除操作代码大致框架如下：

public void remove(int val) {

root = remove(root, val); //方法重载

}

private TreeNode remove(TreeNode node, int val) {

if (node == null) {

return null;

}

if (val < node.val) { //小于

node.left = remove(node.left, val);

} else if (val > node.val) { //大于

node.right = remove(node.right, val);

} else if (node.left != null && node.right != null) { //相等的情况，并且有左右两个孩子

TreeNode minNode = getMinNode(node.right); //返回的是，node的右子树的最小节点

minNode.right = remove(node.right, minNode.val); //以这个最小节点作为新的node返回，并删除右子树上的minNode

minNode.left = node.left;

node = minNode; //这里先将minNode保存到node里面

} else { //相等的情况，只有一个孩子节点，或者是没有节点情况

node = node.left != null? node.left : node.right;

}

//对node节点进行判断，并计算height和平衡因子。

if (node == null) {

return null; //上面的else中，有可能node没有孩子节点，可能会产生null

}

//计算当前节点的高度

node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1; //取左右两边的最大值，再加1

//计算平衡因子

int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {

//LL型，做右旋转处理

if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {

return R_Rotate(node); //直接将新的根结点返回即可

}

//RR型，做左旋转处理

if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {

return L_Rotate(node); //新的根节点，直接返回

}

//LR型，先对左子树进行左旋转，然后再对根节点进行右旋转

if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {

node.left = L_Rotate(node.left); //先进行左旋转，变成LL型

return R_Rotate(node); //再进行右旋转

}

//RL型，先对右子树进行右旋转，然后再对根节点进行左旋转

node.right = R_Rotate(node.right);

return L_Rotate(node);

}

return node;

}

//返回这棵树最小的节点

private TreeNode getMinNode(TreeNode node) {

TreeNode pre = null;

while (node != null) {

pre = node;

node = node.left; //向左子树查询

}

return pre;

}

对于平衡二叉树，我们只需深刻理解到LL型和RR型的旋转操作，那基本上平衡二叉树就还算掌握的不错。LR型和RL型，就是前面两种的衍生而已。不管是add方法还是remove方法；都只需在搜索二叉树的基础之上进行稍微的修改即可。最后大家可以自己再添加一下方法，例如：isBST、isBalanceTree等等。

好啦，本期更新就到此结束啦！！！同学们好好的拿出纸笔去画一画那4种旋转过程，那么恭喜你，平衡二叉树就掌握的不错啦！！！

下期见！！！

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原文链接：https://blog.csdn.net/x0919/article/details/119862758

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平衡二叉树（AVL树），原来如此！！！

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