笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。

序偶定义

　　由两个元素x和y（x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作，其中x是它的

　　第一元素，y是它的第二元素。

　　有序对具有以下性质：

　　1.当x≠y时，≠.

　　2.=的充分必要条件是x=u且y=v.

　　这些性质是二元集{x，y}所不具备的。例如当x≠ys时有{x，y}={y，x}。原因在于有序对中的元素是有序的

　　，而集合中的元素是无序的。

　　例：已知=<5,2x+y>,求x和y。

　　解：由有序对相等的充要条件有 x+2=5和2x+y=4 联立解得 x=3，y=-2.

笛卡尔积定义

　　设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合

　　叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.

　　笛卡尔积的符号化为：

　　AxB={|x∈A∧y∈B}

　　例如，A={a,b},B={0,1,2},则

　　AxB={,,,,,,}

　　BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}

　　笛卡尔积的运算性质

　　1.对任意集合A，根据定义有

　　AxΦ =Φ ，Φ xA=Φ

　　2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即

　　AxB≠BxA(当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时)

　　3.笛卡尔积运算不满足结合律，即

　　（AxB)xC≠Ax(BxC)(当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)

　　4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即

　　Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)

　　(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)

　　Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)

　　(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)

推导过程

　　给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：

　　D1×D2×…×Dn={（d1，d2，…，dn）|di∈Di，i=1，2，…，n}

　　所有域的所有取值的一个组合不能重复

案例

　　给出三个域：

　　D1=SUPERVISOR ={ 张清玫，刘逸 }

　　D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业}

　　D3=POSTGRADUATE={李勇，刘晨，王敏}

　　则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：

　　D=D1×D2×D3 =

　　{(张清玫，计算机专业，李勇)，(张清玫，计算机专业，刘晨)，

　　(张清玫，计算机专业，王敏)，(张清玫，信息专业，李勇)，

　　(张清玫，信息专业，刘晨)，(张清玫，信息专业，王敏)，

　　(刘逸，计算机专业，李勇)，(刘逸，计算机专业，刘晨)，

　　(刘逸，计算机专业，王敏)，(刘逸，信息专业，李勇)，

　　(刘逸，信息专业，刘晨)，(刘逸，信息专业，王敏) }

　　这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。

　　本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。

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