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地图“四色定理”的公式推导

原创 IT生活 作者:moonsoft 时间:2019-06-10 16:45:05 0 删除 编辑
地图“四色定理”的公式推导 黎 鸣[@more@]

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地图“四色定理”的公式推导 黎 鸣
定义一:D(2)表示全相邻数等于2的地图系统。其中主考虑面积完全被一个面积所完全包围,如图1所示。
定义二:D(3)表示全相邻数等于3的地图系统。其中又分三个亚类:
D(3—1)表示主考虑面积被两个面积所完全包围,如图2所示;
D(3—2)表示主考虑面积被大于2的偶数个面积所完全包围,如图3所示;
D(3—3)表示主考虑面积被大于3的奇数个面积所完全包围,如图4所示。
定义三:D(4)表示全相邻数等于4的地图系统。其中主考虑面积正好被三个面积所完全包围,如图5所示。


定理一:任意一个地图D系统都可以分解为D(2)、D(3)、D(4)三个子系统之和,如下式所示:
D=D(2)+D(3)+D(4)
=D(2)+D(3—1)+D(3—2)+D(3—3)+D(4)
其中:
D(3)=D(3—1)+D(3—2)+D(3—3)
证明:一,存在性
根据公理一,任意地图中的任意面积均处于与其相邻的面积的全相邻的关系之中,因此,此公式的存在性是显然成立的。
二,相容性
根据公理二,以及定义一、二、三,上述公式中的所有一切项之间将不会发生矛盾性的情况,由此获得相容性的证明。
三,完备性
根据公理一和公理二,上述公式的完备性是显而易见的,将不会发生除了全相邻数等于2、3、4之外的任何情况。
鉴于上述三个方面的证明,定理一获得完全的证明。
定义四:只需两种颜色即可分辨的地图面积(国家、省、湖泊、海洋等)系统即称作两色性的地图面积系统,并表示为A系统;
定义五:只需三种颜色即可分辨的地图面积系统即称作三色性的地图面积系统,并表示为B系统;
定义六:只需四种颜色即可分辨的地图面积系统即称作四色性的地图面积系统,并表示为C系统。
定理二:D(2)地图面积系统等同于A系统。
定理三:D(4)地图面积系统等同于C系统。
定理四:D(3—1)地图面积系统属于B系统;
D(2—2)地图面积系统属于B系统;
D(3—3)地图面积系统属于C系统。
上述的定理二、三可以不证自明。
定理四中的D(3—1)、D(3—2)属于B系统的情况也同样可以不证自明。
地理四中的D(3—3)的情况,与我在前面关于莫比乌斯带的讨论类似,因此属于不能不用四色进行分辨的特例,所以属于C系统。
定理五:任意地图系统D均可以分解为由两色、三色、四色性地图面积系统组成之和,如下式所示:
D=A+B+C
证明: 根据定理一:
D=D(2)+D(3)+D(4)
=D(2)+D(3—1)+D(3—2)+D(3—3)+D(4)
根据定理二、三、四,
D(2)属于A,D(3—1)、D(3—2)属于B,D(3—3)、D(4)属于C,所以有:
D=A+B+C 证毕。
定理六:如果全地图D总共含有S个单位面积(国家、省、湖泊、海洋等);
如果二色性地图面积系统总共含有m个单位面积;
如果三色性地图面积系统总共含有n个单位面积;
如果四色性地图面积系统总共含有l个单位面积,那么有:
D[S]=A[m]+B[n]+C[l],并且其中有:
S=m+n+l
证明:根据定理一的存在性、相容性、完备性,定理六将可不证自明。
因为一切地图都将可以仅仅分解为二色性、三色性和四色性三种地图面积系统之和,所以地
图的四色猜想完全成立,并成为四色定理。
上面为“四色猜想”问题的公理性证明,此外还有生成性证明和归纳法证明,这两种证
明我留待网友们去完成。后面,我们将利用上述的定理证明一些特型地图的色性关系,包括以中国地图为例的一个完全解析的示范。(待续)(06,12,12。)

转自:http://blog.sina.com.cn/u/4757606d010006uj

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