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无理数与数制

原创 Linux操作系统 作者:alzhu-san 时间:2009-07-16 15:33:09 0 删除 编辑

无理数与数制


  近来,讲课时给学生们提出这么一个问题:我们所说的“有理数”与“无理数”的区分是仅在我们常用的十进制下有效呢,还是对于所有的数制都有效呢?当时没有给出答案,我也没有答案。但是当时想,如果一个在某一进制下的无理数,在另一进制可以变成有理数,那不就找到了一个无理数变换的巧妙方法了吗?后来,想想这个计划要落空了,因为在某一进制下的无理数在任意进制中依旧是无理数。
  简略分析如下:
  无理数是不可以表示分数的小数,也就是说不存在一个整数使得他与数无理数的积是整数(如果进制是分数的,把分母乘到原数上就转化为同一形式),而数制转化的作用不过是将原数分解为基数各次幂之和,本质是做乘法,因此也不能改变数的性质。
  再想一下,在某一进制下的有理数,会在另一进制下变成无理数吗?假设一个有理数在一个进制下是有理数,在另一个进制下真的就是无理数,因为上面的结论,那么当他转化会原来的进制时,就是一个无理数。和我们的假设矛盾,所以说进制转换不会改变数的性质。

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